W = W, -I- TT
on trouve immédiatement
J^ Asin^w -f- aBsinwcosw -I- Ccos'w
Jq Asin^w, -(- aBsinw, cosw^-f- Ccos'w, L'aire de l'ellipse étant ainsi représentée par la quantité
; , / COtfw — ot.]dui~ I COt(w — S)f/wl,
nous emploierons la formule établie p. 334
COt - (.r — « — b^ — i)dx— 2 7r(é) ^— i ; 0 ^
or, en faisant ^ = 2w, et remplaçant « et 6 par 2 « et 26, on en tire
/ COt(w — u — ù\/ — i) r/w = 7r(è) y/— 1,
et, par conséquent, puisqu'on suppose b positif,
JCOt ( w — (7 — è y/— f ) doy — / COt [k — a -h b \/— i)doi ~ aTz yj — i ;
nous avons, par suite, cette valeur :
2 / Asin^
w -t- 2B sinw cosw -f- C cos''w »/AC — B^
qui est remarquable en ce qu'elle donne, au moyen d'une intégrale définie, une expression rationnelle en A, B, G du radical -■. dont on fait usage dans plusieurs questions y/AC-B^ ^ ^ ^
importantes d'Analyse.
III. On parvient à un résultat beaucoup plus important en considérant les courbes de second degré rapportées à un de
leurs foyers pour pôle. L'aire du secteur déterminé par deux rayons vecteurs et l'arc de la courbe donne, en effet, d'après la première loi de Kepler, l'expression du temps employé à décrire cet arc dans le mouvement d'une planète ou d'une comète autour du Soleil. Pour en faire le calcul dans le cas de l'ellipse, je rappellerai d'abord qu'en partant de l'équation
on a cette valeur du rayon vecteur issu du foyer de droite de sorte qu'en faisant
car
X = C-r- p COS M
on obtient l'équation en coordonnées polaires
« -T- C COS w
et, par suite, l'aire du secteur Soit d'abord
COSw — X,
on sera amené à l'intégrale
do
CCOSw)'
h' du
[a -+■ cx)'y/i — x'
et les méthodes qui la concernent conduisent facilement à cette expression
b*dx i»c^, .^. bs/\-x^ — 0 arc tang —^
{a-^cxY^i- x' a-r-cx
Mais on aura un calcul plus simple en substituant à la variable w l'angle 9 (*), qui donne pour x eiy ces valeurs
x=acos'^, j=ésiny.
(*) C'est l'anomalie excentrique.
3g8 CALCUL INTÉGRAL.
Ayant en effet
p = a — — = a — ccoscp,
nous en conclurons la relation
a -T- ccosw d'où
flCOS^
— =: a — ccos^,
cosw =
a — c cos tp
h sin œ
sin w ~ '- — j
a — c cos^
et par conséquent
a(ti = •
a — c cos ^
Si Ton désigne par 9 et 9' les valeurs qui correspondent aux angles w et uJ , on aura ainsi
S-^«èj (l -^COScp)r/<p.
Cette intégrale, qui s'obtient immédiatement, donne lieu à une remarque utile pour l'Astronomie, c'est qu'en changeant
les limites elle peut se ramener au cas particulier de - = 1 , c'est-à-dire de 6 = o. Soit, en effet,
J [^ - -f^osf) df = J {i-cosf)d^, c'est-à-dire
(p'— f (sin<j>'— sin^) = Q' — 0 — (sinQ'— sinO) ;
il suffira de poser les deux égalités
- (sinçp' — sincp) = sinQ' — sin9.
Or, en écrivant la seconde sous la forme
- sm ~ cos - — — -^ sin cos j
elle se réduil, d'après la première, à
