IV. Considérons maintenant la cycloïde définie par les deux
équations
^ = «(tp — sincp),
y = a[i — cos'f); l'aire exprimée par l'angle 9 sera
\ydx — a'' l [i — coscp)'rf(j),
ce qui s'intégrera en observant que
, ., 5 , l-^C0S2CP (l — COS'f )'= I — 2 COS^ ■+- COS^ ~ I — 2C0Sip +
= - — 1 COSq) H C0S2cp.
APPLICATIONS GÉ0MÉTRIQ0E8. 4°*
II résuite, en effet,
(i — cosf Yfl<f = -f — -isinf -t- sini<f -+- C, 2 4
et l'on obtient, pour la portion du cycloïde comprise entre deux points consécutifs de rencontre avec l'axe des abscisses, et déterminée par conséquent par la valeur de 9 croissant de zéro à 2 7r, cette expression
(i — COSfYdf — 37t«',
c'est-à-dire, comme Galilée l'a découvert le premier, trois fois l'aire du cercle générateur.
En rapportant la cycloïde à son sommet, ce qui se fait en changeant jr en 2a — j, on aurait eu un calcul plus simple, car les équations devenant
X — a(<f — sinf), '"'
J-^«(l-+- COSçp),
on obtient ainsi immédiatement
r , ^ C • i 1 î/t sincPCOS«)\ / ydx '-^-^ u^ I sm'' tfdff — a'ij- : ■ j •
Courbes unicnrsales du troisième et du quatrième ordre.
I. Si l'on rapporte à son point double, pris pour origine des coordonnées, l'équation d'une courbe unicursale du troisième ordre, elle prend la forme caractéiistique suivante :
ax'-h a' xy -¥■ a" y"^ =bx^-\- b'x'^y -+- b"xy'^ -r- è'y ,
et les droites j=: Bx ne la rencontreront qu'en un point d'intersection variable dont les coordonnées, fonctions rationnelles de 0, seront 1
Ife Partie. 26
Ayant ainsi les formules de substitution qui ramènent l'intégrale / ydx à celle d'une simple fonction rationnelle, nous
nous proposons de déterminer dans quel cas la courbe est quarrable algébriquement. J'emploierai dans ce but l'identité
i jrdx=^^^xy-^^- i [ydx-xdy],
afin de mettre à profit cette circonstance, que l'intégrale
1 {ydx — xdf) donne, si l'on fait
X = >.^ -+- Vjr, Y — ^x -{- fx'j, la relation
[IlI'-il'I] Ç [ydx — xdy)= HYdX-XdY).
Cela posé, soit, en décomposant en fractions simples, ABC
on aura
— a 9 — p 9 — 7 AX + A'V B).-t-B'V C)^-f-C'V
Af;i + B>' Bpt + By Cfx+Cy • o-« ^ Q-p "^ 9-7 '
et nous disposerons de X, X', //, /yi' par les conditions
B)>-<-BT=o, Cpt-t-C>' = o,
de manière à obtenir ces nouvelles expressions
d'où l'on tire
YdX -XdY rf9
L9-«"^9-7JL(':'-«)^"^(9-PrJ
r R , s "ir p Q 1
[(^a'^9 -bj[(9-a)='"^ (9-7)^J"
APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. ^o3
Soient mainlenani X, ift), G les résidus du second membre correspondant aux valeurs a, [3, y de la variable; les conditions pour que les logarithmes disparaissent dans l'expression de l'intégrale seront ^l> = o, ift,=:o, e = o; mais l'une d'elles rentre dans les deux autres; car, d'après une remarque faite (p. 264), on a : »Ij + ifi> 4- G = o. Nous pourrons donc nous borner aux deux dernières; or on trouve aisément
i7-«r h-pY
Il en résulte, en faisant abstraction, pour simplifier, des facteurs m et n, ces expressions
dont l'une se déduit de l'autre par la simple permutation de (3 et y, et l'on en conclut facilement
d'où, par suite,
/(Y./X-X./Y) = (P-7r(Bi-|^) = ^S-7)«l±7i:-^Zl!.
^P ^' (&-Pne-7)
4o4 CALCUL INTÉGRAL.
IL Nous appliquerons ce résultat à un exemple particulier en considérant la courbe connue sous le nom defolium de Descartes, et qui a pour équation
L'origine est donc un point double, et les coordonnées s'expriment par les formules
qui permettent de reconnaître aisément la forme de la courbe. On remarque d'abord que pour 0 = — i , .r et j deviennent infinis, et de là résulte une asymptote rectiligne qui s'obtient comme il suit. Supposons qu'en général, dans les équations
les deux fonctions deviennent infinies pour 0 = a, et qu'en posant
les développements suivant les puissances croissantes de // soient de cette forme
11 est clair qu'en faisant tendre h vers zéro les coordonnées jde la courbe ont pour limites les expressions
qui représentent une droite, à savoir
Dans le cas particulier que nous avons en vue, on aura ainsi pour 0 = — I + /i,
ce qui donne l'asymptote
AyaiU iracé deux axes rectangulaires O^r, Oj et conslruil celte droite AB {Jig. 89), nous aurons d'abord, en faisant croître Q
de —00 à —I, une branche infinie OP, parlant de l'origine à laquelle elle est asymptote. On obtiendra ensuite une seconde branche QO partant de l'infini, ayant la même asymptote, et aboutissant encore à l'origine en faisant croître 0 de — i à zéro. Enfin l'ensemble des valeurs comprises de zéro à +00 donne la boucle ORS, les axes coordonnés étant les deux tangentes en 0 au point double.
Soit maintenant a une racine cubique imaginaire de l'unité, nous aurons, pour la décomposition en fractions simples,
Or on tire de là
( a - - a' ) ( jr -)- a}jr) =r (a'— a) (j:-i-a j) =
et ces formules rentrent dans celles que nous avons trouvées pour les courbes dont l'aire est simplement algébrique. En effet l'intégrale
If
se détermine sans logarithmes, car en faisant
elle devient
4o6 CALCUL INTÉGRAL.
Nous en déduirons mainlenanl l'aire de la portion fermée, observant qu'elle est décrite si l'on fait croître 6 de zéro à l'infini, l'espace extérieur étant à droite de la direction du mouvement. Cette aire, d'après la règle de Gauss, est donc l'intégrale
changée de signe; elle est par conséquent égale à -•
III. L'équation des courbes unicursales du quatrième ordre s'obtient comme il suit. Faisons passer par trois points fixes P, Q, R une courbe du second ordre, dont l'équation, contenant deux coefficients arbitraires 1, fx, sera de la forme
et considérons une fonction homogène du second degré de ces trois polynômes u, v, w, qui sont entièrement déterminés en X et j. Si, en la désignant par F (m, v, w), on pose pour un
moment
on aura
d£d^du^dYch dYchv dx du dx ' dv dx div dx
dy du dy dv dy dw dy
Or ces dérivées partielles s'annulent comme f{x, y) pour les trois systèmes de valeurs de ^ et j qui donnent simultanément M = o, vr=.o, tv = o; par conséquent l'équation f[x,f)=^ o représente une courbe du quatrième ordre ayant les trois points doubles P, Q, R. J'ajoute qu'elle les représente toutes, carie polynôme F(ï«, v, w) renferme cinq coefficients arbitraires, les trois points doubles comptent pour neuf conditions, et l'on a bien le nombre total, égal à quatorze, des conditions qui déterminent en général une courbe du quatrième ordre. Cette équation obtenue, voici maintenant comment on en tire les expressions des coordonnées en fonction
rationnelle d'une variable. Mêlions F(a, c, w) sous la forme suivanle :
F(tt, «', fv) = (f -+- m(v){p-h mv)-h (au -h bv -hcw)u,
a, b, c, m, n désignanl des conslanles ; je dis que des huit points d'intersection de la courbe du quatrième ordre avec celle-ci,
qui est du second ordre, un seul est variable avec le paramètre indéterminé 6. En effet, les deux relations sont vérifiées en posant
« = o, f-+-/ij«' = o;
or, des quatre solutions de ces équations, trois donnent les points doubles, el, comme nous l'avons établi, p. 2^8, doivent être comptées comme six solutions à l'égard des équations proposées. Nous avons donc bien sept solutions indépendantes de 9; maintenant on obtiendra comme il suit les valeurs de^. elx donnant la huitième solution qui dépend seule de ce paramètre.
