RECTIFICATION DES COURBES

Parabole et ellipse.

On a obtenu pour la longueur d'un arc de courbe plane, rapporlée à des coordonnées rectangulaires, la formule

: / sJdOL

dy\

où les limites x^ et x désignent les abscisses des extrémités de l'arc. C'est à la parabole j' = ipx que nous en ferons la

(*) Si l'on considère en particulier les équations

X = cos 2 y -h 2 cos p, y =^ sin 2 jj — 2 sin ^,

qui représentent le lieu engendré par un point d'une circonférence de rayon égal à l'unité, roulant à l'intérieur d'une autre circonférence de rayon triple, on aura pour les coordonnées de la polaire réciproque

sin|j)

cos i »

d'où cette équation du troisième ordre

dont la polaire est, par conséquent, la courbe proposée, ou l'hypocycloïde à trois points de rebroussement. {Voyez sur cette courbe le Mémoire de M. Cre mona, Journalde Crelle, t. 64, p. loi, et une Note de M. Clebsch, p. 124.)

première application, el comme on a ralionnellemenl

r' , ydr X — ' — , dx ~ ■ — —^ 'ip p

nous prendrons y pour variable indépendante en écrivant

Y Or on peut immédiatement conclure cette intégrale de celle qui exprime l'aire de l'hyperbole, savoir

I ^x^— a^ dx — — ^-- log(xH- y/x''— a')-i-COnst.

En faisant a'= — />', et en écrivant / au lieu de x, il vient ainsi

/V/j'-H/^' djr — -^.JLL fL ^ y3» log (j -H y/j ■■'-< yr,') -i- COnSt.

Si l'arc est compté à partir du sommet, on déterminera la constante de manière que le premier membre s'annule pour ^ = o, et l'on trouvera

s = <-^ ^ -+--P Xos''- "^ ^ , '

■ip a' p

le terme algébrique, dans celte expression, représentant la

portion de la tangente à l'extrémité de l'arc comprise entre le

point de contact et l'axe des y.

Comme exercice de calcul, j'indiquerai encore le procédé

suivant pour y parvenir.

Soit

pz

d'où

dy

on aura

s-^'-pJ^:>y^pJ^.

4l2 CALCUL INTÉGRA.L.

maintenant la relation

donne

[i-z'y ~ 4 L(i — z' "^ ûTT^7 ^ I- z "^ i-zj*

et, en remplaçant z par sa valeur en r,

on retrouvera bien le résultat précédemment obtenu, si l'on remarque, à l'égard du terme logarithmique, que

Comme seconde application de la formule de rectification, nous allons considérer l'équation de l'ellipse

d'où l'on tire

dr — hx

et, par conséquent,

Si l'on pose, suivant l'usage, on aura plus simplement

s— I 4/--J — -~^dx= f - dx,

et nous nous trouvons ainsi amenés, par la voie de la Géométrie, à la considération d'une intégrale où figure la racine car-

rée d'un polynôme du quatrième degré. C'est celte origine que rappelle la dénomination de fonctions elliptiques donnée par Legendreaux intégrales de cette catégorie d'irrationnelles algébriques. A leur égard, nous savons déjà qu'on peut, en changeant de variable, abaisser d'une unité le degré supposé pair du polynôme placé sous le. radical. Ainsi, en posant

>n trouve

r In'—é'x-' , /»i<.»2(,H,.M/-H(i-e»)/» ,

si, pour abréger, on fait

Les réductions indiquées (p. 293) donnent ensuite

J (,,)VF(0 '-' ^ Vv/F(0

far où l'on voit que l'arc d'ellipse dépend des intégrales de remière et de seconde espèce,

r dt r tdt

Une autre substitution, à savoir x^=t, conduit plus facilement encore à cette conclusion, car nous en tirons

J'indique ces résultats afin d'avertir que c'est l'intégrale de première espèce, et non l'arc d'ellipse qui est analogue à l'arc

de cercle

dx

Les arcs de sections coniques représentent en effet un tout autre genre de grandeur; ainsi on ne peut ni les ajouter, ni les multiplier par des constructions où l'on emploierait des courbes algébriques de degré quelconque. Ce qu'il y a d'entièrement nouveau et de caractéristique dans leur nature résulte des belles et importantes proportions de Géométrie que voici :

I" Considérant deux ellipses décrites des mêmes foyers, si

Fig. 4o. d'un point quelconque M [Jig, ^o) de

l'une d'elles on mène des tangentes MA,

MB à l'autre, l'arc AB compris entre les

points de contact diminué de la somme

AM + BM est une quantité constante.

2° Faisons la même construction en

supposant le point M [fig- 40 sur une

hyperbole homofocale à l'ellipse, qui la rencontre en N; alors

Fig. 4(. la différence des arcs NA et NB sera

égale à la différence des tangentes MA

et MB.

3° Soit enfin deux tangentes MA et M^ {fig.^i) menées à l'ellipse par un point quelconque; si l'on construit un cercle tangent aux deux droites et à la courbe en N, la différence des arcs NA et NB sera encore égale à MA — MB.

Le premier de ces théorèmes a été découvert par un géomètre anglais, M. Graves, qui l'a étendu aux coniques ^B sphériques; les suivants sont dus à M. Chasles (*), ainsi que plusieurs autres propositions du plus grand intérêt sur les polygones inscrits et cir-

(*) Comptes rendus de V Académie des Sciences, année i8/|4. — Voyez aussi

Fig. 43.

APPLICA.TIONS GÉOMÉTRIQUES. 4'^

conscrits à deux coniques homofocales. Voici la démonstration du second théorème, d'après l'illustre géomètre.

Considérons sur l'ellipse deux tangentes infiniment voisines en A et A.' {Jig. 43); soient M et M' les points où elles coupent l'hyperbole, et R leurs , points de rencontre. Nous observons qu'en projetant sur A' M' les points M et A en P et Q, on a, aux infiniment petits près du second ordre :

RQ = RA et QP = AM. La première relation montre d'abord que la corde de l'arc AA', et par conséquent cet arc lui-même, est encore égal aux infiniment petits près du second ordre à A' R-+-RQ = A'Q.

Cela posé, j'envisage comme fonctions d'une même variable l'arc d'ellipse NA = * et le segment de tangente AM = /, de sorte qu'en la faisant croître de sa différentielle on passe du point A au point A', ce qui donnera

Or, ayant

A'M'=A'0-hQP-+-PM',

on conclura de notre seconde relation, QP = AM = /, celle-ci, à savoir :

dt = ils -f- PM'.

Soient maintenant MB et M'B' les autres tangentes menées par les points M et M' à l'ellipse; si, en désignant par B et B' les points de contact et par S la projection du point M sur

le Traité des sections coniques de M. Salmon, a* édition, p. 297, et dans le Journal de Crelle, t. 67, p. l\0, le Mémoire do M. Kûppcr, « Considérations géométriques destinées à faciliter l'étude de la théorie des transcendantes elliptiques. »

4l6 CALCUL INTÉGRAL.

M'B', on fait

nous aurons de même

dt^ = ds^ -+- SM'.

Mais, d'après la propriété de l'hyperbole homofocale, les angles de la tangente MM' avec les tangentes à l'ellipse M'A' et M'B' sont égaux; il en résulte que PM'=: SM' et, par suite,

dt — dt^ = ds — ds^.

On en conclut

t — t^~ s — s^ -t- const. ;

et j'ajoute que la constante est nulle, car les deux arcs et les deux segments de la tangente s'évanouissent en même temps quand on fait coïncider les points M et N.

Des courbes algébriques dont l'arc s'exprime par la fonction elliptique de première espèce.

I. L'idée si naturelle de considérer dans d'autres courbes que le cercle les coordonnées d'un point variable comme des fonctions de l'arc compté depuis une origine fixe jusqu'à ce point ne donne aucunement, lorsqu'on envisage l'ellipse, des quantités analogues aux lignes trigonométriques. Les fonctions périodiques ainsi définies, qui au premier abord semblent uniformes, sont en réalité des racines d'équations transcendantes, admettant pour chaque valeur de la variable une infinité de déterminations imaginaires dont il n'est pas possible de séparer la détermination réelle que représente la Géométrie. C'est dans le quatrième ordre seulement qu'on rencontre une courbe dont les coordonnées sont des fonctions uniformes de l'arc, pouvant servir à une définition semblable à celle des fonctions circulaires pour les transcendantes plus élevées, qui sont l'objet de la théorie des fonctions elliptiques. Cette courbe est la lemniscate, et, en effet, par des constructions géométriques, on obtient un arc égal à la somme ou à la

différence des deux arcs donnés; le périmètre total peut être dans les mêmes cas que la circonférence du cercle, divisé en parties d'égale longueur, en n'employant que la règle et le compas. Elle a pour équation

et appartient à la catégorie des courbes unicursales, les coordonnées, comme on l'a vu page 2^\, s'exprimant ainsi :

Deux des points doubles sont à l'infini, le troisième étant l'origine; elle se déduit de l'équation générale précédemment donnée des courbes unicursales du quatrième ordre, en supposant que, des facteurs linéaires qui entrent dans les quantités a, V, IV, l'un se réduit à une constante et correspond à une droite éloignée à l'infini, les autres étant les expressions imaginaires conjuguées

Nous aurons ainsi

u = {x -i-j\/ -i){x — y-]/'^) = x^-hx\ V — x-f- y\J- I , w -^x — y\J ~\i

cl la relation homogène

reproduit, en effet, l'équation précédente. Maintenant on lire des expressions rationnelles de ^ et j les valeurs

,lx x V 39' - ZV - r/ r/r 1 -39' - 39* t- 0' d'où résulte

Jfe Partie. 27

4l8 GALCOL UfTÉGRÀL.

et, par conséquent,

s= fj^,

Cesl celte relation qui donne inversement pour 0 une fonction de s, uniforme, périodique et réalisant d'une manière complète l'analogie avec les lignes trigonométriques qu'on n'avait pu obtenir en partant de l'ellipse. Mais la lemniscate n'est point la seule courbe dont l'arc s'exprime ainsi par l'intégrale elliptique de première espèce; M. Serret en a découvert une inûnité d'autres algébriques et même unicursales; voici succinctement ses résultats (*).

II. Soit n une constante supérieure à l'unité, de sorte que le trinôme O — 2/if -i- i ait ses racines réelles et que le radical R = v^^/'H- 2/1/ — I soit aussi une quantité réelle, /ayant une valeur comprise entre ces racines. Cela étant, je pose

ces expressions imaginaires auront pour module l'unité, et l'on vériûe aisément que

rflogU i—t-^\ d\Q%S I t~\

Déterminant donc x et ;^ en fonction de /, en égalant les parties réelles et les coefDcients de v^— 7 dans la relation

on aura

dXfssXx -\- y^ —\ ) I n — \ ^logU /?-+-r rfloffV ^t ~ a/ ^ 2 1Û~ '^ 2~ ^

(*) Cours de Calcul différentiel et intégral, t. II, p. 268, et plusieurs Mémoires dans le Journal de Mathématiques de M. Liocville, t. X.

et, par suite,

dx fir , / , — V R -♦- i/— i(t — n)

dt dt ^ ^ ^ V / ^^j^

Or les modules de U et V étant l'unité, on en conclut d'où

ldx\ /dry , , ^.R'

et, par conséquent,

L'arc est donc exprimé par une intégrale elliptique de première espèce, et l'expression de x -{- y ^—i montre que l'équation de la courbe sera algébrique, lorsque la constante n sera un nombre commensurable. Dans le cas de n entier et impair, les coordonnées ne renfermeront même d'autre irrationnelle, par rapport à t, que le radical R = y/— /*-+- 2.nt — i qu'on pourra transformer, par une substitution, en une fonction rationnelle d'une autre variable, de sorte que la courbe sera unicursale.

Soit, par exemple, n= 3, ce qui donnera

nous en conclurons

4' •" kt

en supposant R = y/— /'-^6/ — i , et ces relations représentent précisément la lemniscate.

Écrivons, en effet, l'équation entre x et / de cette manière :

t{t — 4j:-4-4) = I, et remplaçons t par a;' + y^^ elle devient

ce qui met en évidence l'une des propriétés caractéristiques de la lemniscate; il suffit d'y changer ^ en ^ -f i, pour l'obtenir sous la forme ordinaire

Je rattacherai aux courbes de M. Serret celles d'Euler, dont les arcs s'expriment par des arcs de cercles (*), et qui en sont de siiliples transformées qu'on obtient en posant

X = x^ — j', Y = ^xy, ou bien