X -^ysj -i ■-■- \/t U ^^ V ^ , nous en conclurons

ce qui donne d'abord

puis

r/los(X^ Yv/~i) r/log(.r+,rv/-' ) Yi-^\-\(t- n

cit

et, par suite,

dt

dt dt^ ^ ^ ^ tR

Or on tire de là

777 j ~^\dt) ~ R'

et, enfin, si nous désignons par 5 l'arc da la courbe,

-\- lut — 1

(juantité qui ne dépend en effet que dos arcs de cercle.

C* ) F'oir sur ces courbes le Cours de Calcul dijférenliel et intégral de M. Seu-

r.ET, t. 11, p. 202.

m. Pour donner un exemple de la formule de reclification des courbes dans l'espace, je considérerai rinlersecllon des deux cylindres du second degré

X^-h à^x* — "xax — o, z' — i*j:' ~+- ibx ~ o. Or on lire de ces équations

('Jl\ - ^ilr 'Lfï. ( '1^ V - ^('-M'

\'lx ) x(a— a.r)' \<ix/ "" .r(2— 6.r)' et un calcul facile donne le résultat suivant :

\(ixj vf'^J x(i— ax){2.— bx)

En assujettissant les conslantes a et 6 à la condition a'— b'z= I, de sorte que l'une d'elles reste arbitraire, on aura donc cette expression par l'arc de la courbe de l'intégrale elliptique de première espèce, la plus générale, à savoir

v/î ( /■/ — ù)(lx

X] (a — bx)

tandis que les courbes planes de M. Serret, si elles sont algébriques, ne représentent, comme on l'a vu, l'intégrale

dt

yjt{— 1*-+- -xnt— \) qu'en supposant n commensurable.

Des fonctions algébriques dont l'intégrale est réductible aux transcendantes elliptiques.

Legendre, dans ses travaux sur les fonctions elliptiques, a eu pour principalbut d'étendre le champ du Calcul intégral, en étudiant les transcendantes qui ont pour origine la rectifcalion de l'ellipse, et en en construisant des Tables, afin de pouvoir y ramener, comme à des quantités connues, le plus

grand nombre possible des intégrales qui ne peuvent s'obtenir par les arcs de cercle et des logarithmes. C'est dans cette pensée que le grand géomètre a intitulé l'un de ses premiers Mémoires : Sur l'intégration par arcs d'ellipse; mais elle n'a été réalisée dans toute son étendue que de nosjours. M. Clebsch, le premier, a donné en général le caractère analytique des équations algébriques F(^, j) = o, dont les variables peuvent s'exprimer par des fonctions rationnelles d'une indéterminée 9 et de la racine carrée d'un polynôme du quatrième degré en 6. Il consiste en ce que, si l'on désigne par n son degré, la courbe représentée par cette équation possède un nombre de points doubles égal h - n{n — 3);

cette condition étant remplie, on a, comme on le voit, parles expressions de ^ et / en 0, la substitution qui ramène aux

fonctions elliptiques l'intégrale / /(^, r)J^, où/(^, j)est

une fonction rationnelle quelconque. Je renverrai, pour la démonstration de celte belle proposition, au Mémoire même de M. Clebsch (*); mais, en raison de son importance, j'en présenterai quelques applications, suffisantes pour l'objet de ce Cours, et qui se lieront naturellement à celles que nous avons précédemment faites de la théorie des courbes unicursales.

I. Soit, en premier lieu, l'équation générale du troisième degré; les expressions des variables s'obtiennent par le procédé élémentaire que voici. Partant de cette forme de l'équation, que donne la théorie des asymptotes,