ABC = D

où A, B, C, D sont des fonctions linéaires de x et j, j'observe que les hyperboles AB = 0, ayant deux asymptotes communes avec la courbe du troisième ordre, la rencontreront seule-

( * ) Ueber diejeiiigen Curven deren Coordinaten sich als elUptische Fiinctiotien eines Parameters darstellen lassen {Journal de Crelle, t. 64, p. 210). Voir aussi l'Ouvrage déjà cité de MM. Clebsch et Gordan, Théorie des Abelschen Functionen, p. 69.

ment en deux points, qui seront en effet déterminés par les relations

AB = ô, D = ôC.

Cela posé, soient

A = a: -f <7j H- fl',

B = JT -+- 4/ t- *',

C = X -h cjr -h c\

et faisons, en disposant des constantes g, h, k, ^gA-f-//B-f-X.

^" ir^ '

il suffit de remarquer cette identité

pour avoir les quatre équations nécessaires au calcul de A, B, C, D en fonction du paramètre variable Q. Une élimination fiicile donne, en effet, si l'on écrit, pour abréger,

cette équation en A, savoir

{%0-hg)A'—{lO- /•)A-f-(f9-h/i)9 = o.

Le discriminant est le polynôme du troisième degré

0 = (/Ô - /■)'- 4 (aO + ^) (pS H-//)ô,

et l'on en tire

Nous trouvons ensuite

de sorte que, ayant