X -^ ar -\- a

2(aÔH-^)

nous en concluons enfin

[a~b]x^ah - ha-- ______^-^^ ,

(/9 -/!-)[(f.-a)Q-ff-H/0-(79 -g- h) y/ë

Ces formules seraient en défaut dans le cas de a = 6; je me bornerai à remarquer qu'alors les points de la courbe se déterminent Individuellement par des sécantes parallèles aux deux asymptotes dont la direction est commune; de sorte qu'elle est unicursale. Soil maintenant comme application l'équation

xr'-^ Y^ — "iaxf -i- i ~ o,

qui est la transformée canonique générale des courbes du troisième ordre. Nous mettrons d'abord les asymptotes en évidence, en l'écrivant sous cette forme, où e désigne une racine cubique Imaginaire de l'unité,

[x -hY -^ a) [x -H £/ -r £*«) [x -+- t'y -+-»«) — «' — !.

Or, la quantité D se réduisant aune constante, on est conduit simplement à déterminer les points où la droite

parallèle à l'une des asymptotes, rencontre la courbe; et en faisant

nous obtenons facilement

b — aO \/3"b b—aO v^HW

De ces expressions résulte pour l'intégrale / xda:, ou plutôt celle ci

[j'dx- xdjr),

APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. ^"iS

qui représente Taire d'un secteur de la courbe, la valeur sui-

vante :

J(y<lx~.rdY)^.J'

©Vse

On la ramène ensuite, au moyen des formules de réduction qui ont été données, page 298, à celte forme plus simple

où n'entrent plus que les fonctions de première et de seconde espèce (*).

II. L'équation générale des courbes de quatrième ordre, qui possèdent deux points doubles, dont l'un serait l'origine X = o, jr = o, l'autre ayant pour coordonnées x = ce, j — (3, est, comme il est aisé de le voir, de la forme

OÙ A, B, C désignent des trinômes homogènes du second degré. Cela étant, je me proposerai, au moins dans un cas particulier, de donner un exemple de détermination des variables en fonction explicite d'une indéterminée, et je choisirai, dans ce but, l'équation suivante :

{X - nj){x - «'j)(.r - a)»-i- ///'(.r - bj){.r - b'j){y -^Y =. o.

Or, en considérant la courbe du second degré

[a:-aj){x- a) = /«9(x - *j) (j- ^),

nous voyons qu'elle a seulement deux points d'intersection avec la proposée, qui varient avec 6. En effet, des huit solu-

(*) L'étude de l'équation générale du troisième degré a conduit M. Aronhold et M.ClcbscIi à des résultats du plus grand intérêt; pour ce qui concerne l'expression des coordonnées, je renvoie au Mémoire de M. CleLsch : Ueber einen Satz von Steiner und eiiiige Punkte der Théorie der Curven dritter Ord~ nung {Journal de Crelle, t. 63, p. y4).

lions des deux équations, celles-ci d'abord :

et, en second lieu, celles qu'on obtient en posant

X — rtj = o, y — p = o ; X — bj = o, x — a = o

donnent toutes des points fixes, et les premières représentent quatre solutions comme répondant à des points doubles. Eliminons maintenant x — a, et l'on obtiendra

{x — ay){x — h' j) -\-^''[x — a' y][x — by) = o,

de sorte que, faisant x ~ ty, t sera déterminé par l'équation du second degré

ayant d'ailleurs

^t^a)[x-oi)^m^t-b)[y-r^),

nous en conclurons les expressions suivantes :

y.{t ^a] — m^fj{t — b) a{t — n) — mO^(t — h)

Mais on en verra mieux la nature si l'on rend le dénominateur rationnel en 9; elles prennent alors celte nouvelle forme

•^ = — Tir-' '^'^— ^nr-'

en supposant

0 = [[n' - b)B' -i- a - b'Y -h i[a - n') [b - b')Q\ R = mb{a'—b)0'^[m''{h'—b)-ha'b{a-n')P'-^m{ab-^a'b'-^bb')^' -+- [m'{b' -b)+ ab'[a - «')]9 -^ nib\a — b'),

P ^^ riib{n' — b){oL -^- a'p)B' ^lm'f.[b' - b)[a' -h b) ^ 2.oLab' {n - a')]h' -f- mlix[iab' -hin'b — ab — 7.bb' — a'b')

-^P{aa'b -haa'b'-nbb'-a'bb')]0' + [m' p [b' - b) [a + b') + ioLab'{n - a')](J -+- mb'[a - b') (a + «f ),

APPLICATIONS GÉOHËTRIQOES. 4^7

?' = m{a' - b){x -h bp)B* -h[2m'P(b' - b) -f- oi{a - a'){a' -\- b)]0' ^m[ix{a-ha'~b—b') -^^{lab'-h na'b — ab — ibb' — a'b'](i^ -i- [im'p{b'-b) -h <x{a - «')(« -4- b')]Q + m(a - b'){x h- pb'),

Q = w6(a — «'6)0'-+- w'^{/. — b')B -f- mi'(« - a p),

La polaire réciproque des courbes du troisième ordre appartient encore à la catégorie dont nous nous occupons. Elle représente, en effet, et de la manière la plus générale (*), une courbe du sixième ordre qui possède neuf points de rebroussement; or les formules

donneront les coordonnées en fonction explicite de 9, si l'on y remplace ^ et / par les expressions obtenues précédemment pour les courbes du troisième ordre. Ainsi l'équation

•*' + j' — 3axy -i-i :s= o,

ayant pour polaire, d'après M. Cayley,

4(rt» - i){X'Y-'-+-X'--r ) -^ (X' + ¥•+ i)'

■ - 6«»XY(X' + Y^ -t- I) + 3a(a' - 4 )X^ Y' = o,

les formules obtenues plus haut

h~-aO v/3H h -n^ \/^

conduiront aux valeurs suivantes :