X - ^Q" — 3^^Q-f-^'-HAv/30 i9' — 3ab0 -h //■ - b\/'îë

' ~ i[n(i'—^b^'-^Za^b^-ab^)' '^é -3bQ'-hia^bB -ab*)'

(*) Une courbe du sixième ordre dépend de 37 constantes, et comme un point de rebroussement entraine deux conditions, il ne restera, en supposant neuf points de cette nature, que neuf paramètres indéterminés, qui sont, en erret, donnés par la courbe générale du troisième ordre dont on a formé la polaire.

Volumes des corps limités par des surfaces quelconques.

Fig. 44.

I. Soit, par rapport à trois axes coordonnés rectangulaires z — /(^, jr), l'équation d'une surface quelconque; nous nous proposons d'évaluer le volume compris entre le plan des xy, cette surface et un cylindre parallèle à l'axe des z, dont la trace <p {x, j) = o soit une courbe fermée. A cet effet, coupons le solide par le plan x = OM; figurons

sur le plan des zy en BCC'B' i/ti;. 44) l'intersection ainsi obtenue qui s'y projette en véritable grandeur, et traçons aussi la courbe (p(.r, r)=o. En supposant à son égard qu'à toute valeur ^ = OM de l'abscisse correspondent seulement deux ordonnées

X = AM, j, = A'M, nous commencerons par évaluer l'aire de la courbe

comprise entre ces deux ordonnées, et qui est représentée sur la figure par BCC'B', les points B etB' étant les projections sur 0^' de A et A'. On obtiendra ainsi l'intégrale définie

/ -^ Jam

/(OM,j)r/j,

où il importe d'observer que la variable x qui entre dans OM, AM, A'M est supposée constante. Faisant, pour plus de clarté.

nous poserons

AM - B[x),

BCC'B' == /(OM, j)r/j= f{-^\j)clr-^ ®{^

c/AM c'ô(x)

Cela éianl, si l'on partage le volume proposé en éléments infiniment pplits par des plans perpendiculaires à l'axe Ox^ el dont la distance constante soit dx, on pourra, à ces éléments, substituer des cylindres ayant pour bases les sections faites par ces plans, pour hauteur commune dx, et dont les volumes seront représentés [>av (dix)dx. La somme de ces éléments entre deux limites x=^a, xr=:b, c'est-à-dire l'inté-

/•* grale / Q{x)dx, donnera ainsi la portion du solide proposé

qui est comprise entre les plans x=zn, x = b, el nous obtiendrons le volume entier V. SI nous faisons correspondre les abscisses a el b aux points extrêmes de la courbe (j> ( jr, j) = o, où la tangente est parallèle à l'axe des x* ce qui donne les deux équations

£n conduisant ainsi à l'expression

Ja Ja ^6{x)

la Géométrie donne une notion analytique nouvelle, extension de la notion fondamentale de l'intégrale définie / f{x)dx:

Ja

c'est celle de l'intégrale double d'une fonction de deux variables / j f{x,j')dxdf, calculée en supposant que ces variables x et/ représentent tous les points de l'intérieur d'une courbe fern:ée cp(^, j)= G. Mais nous ne nous occuperons point dans ce Cours de l'élude des iniégrales doubles, qui est d'une grande importance en Analyse, elje me bornerai à éclaircir par deux applications principales les considérations précédentes.

IL Soit l'ellipsoïde

r' r» 7^ cr u c

43o CALCUL INTÉGRAL.

el pour base du cylindre

rp(jr,j)=0,

l'ellipse quelconque

ce qui donnera

j,^-9,(x)= + py^i-'J-

Nous aurons, pour déterminer 0(^), en considérant seulement la valeur positive de z, l'expression

qu'il est possible d'obtenir sous une forme assez compliquée à l'aide de termes algébriques et transcendants. Mais si les limites de l'intégrale sont précisément les valeurs de y, qui annulent la quantité sous le radical, la formulerelative à l'aire du cercle

donne la valeur purement algébrique

La base du cylindre, dans cette supposition, n'est autre que la trace de la surface sur le plan des xy, de sorte que l'intégrale

représentera le volume de la portion d'ellipsoïde située audessus du plan des xy, et comprise entre deux plans conduits perpendiculairement à l'axe des x, aux distances ^o et x de

l'origine. Or les valeurs extrêmes de l'abscisse soni évidemmeni x = - a ei x = -ha, el nous aurons, pour la moilié du volume total,

m ht

III. En général, pour déterminer le volume limité par une surface fermée

que nous supposerons donner seulement deux valeurs de z en fonction de x et de y, on prendra, au lieu du cylindre quelconque (p(a:,j^) = o, le cylindre circonscrit à cette surface, et la différence des volumes qui se rapportent à la plus grande et à la plus petite valeur de z fournira le résultat cherché. Or, la condition pour que le plan tangent

dF soit parallèle à l'axe des z étant -r- :^ o, le lieu des points de

contact de tous ces plans, et par conséquent la courbe de contact du cylindre sera représentée par les relations

et l'élimination de z donne, par conséquent, l'équation cherchée (f{x,y)=o. Il restera enfin à calculer les valeurs limites de X, qui correspondent aux points où la tangente à celle courbe est parallèle à l'axe des/, d'après les conditions

Mais on aura un procédé plus simple si l'on observe qu'en ces points le plan tangent est perpendiculaire à l'axe des^; on tire de là en effet

IV. Pour seconde application je donnerai, d'après M. Catalan (*), l'évaluation du volume de la portion du cylindre circulaire

comprise au-dessus du plan des xjr, et limitée par la surface

On ne peut plus alors obtenir sous forme finie la fonction (d{x), l'intégrale

dépendant des fonctions elliptiques, puisque la variable j entre au quatrième degré sous le radical carré; nous procéderons comme il suit. Supposant les constantes a et (3 moindres que l'unité, j'observe d'abord que toule section de la surface

par un plan perpendiculaire à l'axe des z est une ellipse. C'est ce que montre l'équation écrite de cette manière

et l'on reconnaît que, pour2<Ci, la section est imaginaire, qu'elle donne un seul point, l'origine des coordonnées pour z:=i, puis une suite d'ellipses grandissant avec z, et ayant pour limite le cercle x^-i-;^^ = if quand on suppose cette quantité infinie. D'après cela, nous modifierons la méthofle générale en décomposant le solide, non plus en tranches parallèles au plan des /z, mais en couronnes cylindriques parallèles à l'axe des z, et dont voici l'expression. Soit

(*) Mémoire sur la réduction d'une classe d'intégrales multiples {Journal de M. LiouvUle, t. IV, p. 323).

l'aire de l'ellipse

Si l'on fait croître z de dz, Z croîtra pareillement de sa différentielle dZf et le volume compris entre les deux cylindres concentriques infiniment voisins, dont les bases sont les ellipses qui correspondent aux valeurs z ei z •+- dz, sera zdZ, à un infiniment petit près du second ordre. La somme de tous ces éléments, lorsque z croît de l'unité à l'infini, donne donc, pour le volume cherché, l'intégrale

V= f^ zHT=.7z f"^ zd[ ^'~' "1.

On remarquera combien est simple un pareil résultat, eu égard à l'extrême complication qui s'était oflFerte en traitant par la méthode générale l'intégrale double proposée. Pour le réduire encore, nous considérerons, au lieu de l'intégrale prise depuis z = i jusqu'à z = » l'intégrale indéfinie, et nous écrirons

J W{^'-=^')(z'-P'U }/{z'-=^')[z'-P') Jv^(z'-«')(z=-^»)

C^est le second membre de cette égalité qui exige une transformation que nous allons faire, car il donnerait, pourz r=«) , la différence indéterminée de deux quantités infinies. Je partirai à cet effet de l'identité

(iz\ z J

2«— «»6» z» St»&»

zVl2 — «')(2' — ^') V^(2'— a'j(3'-^') zV(*»— a')(z»— ^»)

d'où Ton tire, par l'intégration,

z'—a})\z'—p') r z^dz r g' BV/z

Éliminant donc, au moyen de cette relation, la quantité

z'^dz ... . ^ .

t qui devient inunie avec z, nous Xtom-

l" Partie. a8

vons pour résultat

z{z'-i) v/(3^-a')(z---^^) , r dz

et aucun des termes de cette équation ne devenant plus infini aux limites, on en conclut la valeur

dz

Bientôt nous en aurons l'application à une question importante.

Quadrature des surfaces courbes quelconques.

L'aire d'une portion de surface courbe comprise dans l'intérieur d'un contour fermé quelconque se définit comme la limite vers laquelle tend l'aire d'une surface polyédrale inscrite, dont toutes les faces diminuent indéfiniment, et terminée par un contour polygonal ayant le contour donné pour limite. En partant de cette définition, analogue à celle qui a été employée pour la longueur d'une ligne courbe, il faut démontrer que la limite de la surface polyédrale existe, et a une valeur indépendante de la loi de décroissement de ses faces. Mais la démonstration est longue, et, afin d'abréger, je traiterai la question en me plaçant à un point de vue différent.

Soit

APPLICATIONS GÉOMËTRIQCES. 4^^

l'équation de la surface proposée rapportée à des coordonnées rectangulaires. Je considère d'une part deux plans menés perpendiculairement à Taxe des :r, aux distances a: ei x -h dx de l'origine, et de l'autre deux plans perpendiculaires à l'axe des / et aux distances j^- et j h- dj\ Ces quatre plans détermineront sur la surface un quadrilatère w, dont la projection sur le plan des xf sera un rectangle ayant pour côtés dx et dy. Cela posé, j'admettrai qu'on puisse remplacera) par la portion du plan tangent en un quelconque de ses points qui se projette sur le même rectangle. C'est donc prendre, en nommant X l'angle du plan tangent considéré avec le plan des x^,

dxdr