COSA

et comme une variation infiniment petite dans cet angle n'altérera 0) que d'une quantité infiniment petite par rapport à elle-même, on peut considérer le plan tangent au point ar/z, qui est l'un des sommets du quadrilatère, ce qui donnera

cos> =

^ . . ..... df df

On a ainsi, en posant, suivant I usage, /? = -^ » ^ = -^ ,

a = dx dy^ \ -^ p' -^ q' .

Soit maintenant

<p(jr, 7)= o

la projection du contour limité de l'aire; il s'agira d'effectuer la somme de tous les éléments w correspondant aux points contenus à l'intérieur de cette courbe, question d'Analyse identique avec celle que l'on vient de traiter; d'où l'on voit qu'on peut assimiler en général l'expression analytique de l'aire d'une surface à celle du volume d'un cylindre ayant pour trace la courbe <p(^, j) = o et limité par la surface z =z sji -^ p'-^ q*. L'application la plus importante concerne l'ellipsoïde

on a alors

et la moitié de l'aire totale sera l'intégrale

dxdy ^

si l'on prend pour la courbe limite la trace de l'ellipsoïde sur le plan des xy

Or, en faisant

ce qui donnera

cette intégrale prend la forme

— — dx dy ,

OÙ l'on a posé

quantités qui sont l'une et l'autre inférieures à l'unité lorsqu'on suppose I

c'est l'expression déterminée précédemment en l'assimilante f un volume, et que Legendre a réussi le premier, par une mé- | thode savante et plus difficile, à réduire aux intégrales elliptiques de première et de seconde espèce. '

Volume et surface des corps de révolution.

Soit j=/(^) l'équation d'une courbe en coordonnées rectangulaires; je dis que le volume engendré par le segment ?

Fig. 45.

MM'PP' ifg.iS) tournant autour de l'axe des x, et dont

la base MW=dx est égal à ttMP ^x aux infiniment petits près du second ordre. Menons en effet par les points P et P' des parallèles à l'axe, de manière à comprendre le segment entre les rectangles MPM'Q', MQM'P'. Le volume engendré par le segment sera donc compris entre les deux cylindres engendrés par les rectangles, qui, étant de même base, sont

MP

entre eux dans le rapport ^- Or ce rapport est à la limite

MQ

égal à l'unité, ce qui démontre la proposition annoncée. On

en conclut, pour le volume engendré par le segment compris entre deux ordonnées qui correspondent aux abscisses quelconques X = a, X = b, cette expression :

{x)dx.

Pour obtenir l'aire de la surface qui est donnée par la révolution de la même courbe, je la considérerai comme la limite de la somme des aires des troncs de cône, décrits par les côtés d'un polygone infinitésimal inscrit. Soit PP' l'un de ces côtés, l'expression de l'aire sera

- (circonf. MP -f circonf. M' ?') PP' ^- ïtt fr -f- - dA ds,

ou simplement i-Kyds aux infiniment petits près du second ordre. La somme des éléments ainsi déterminés entre la limite X r= a ei xzr^h, c'est-à-dire l'intégrale

aff / jrds, J a

sera donc l'aire de la surface résultant de la révolution du segment de la courbe x=f(x) autour de l'axe des abscisses.

Soit, comme exemple, l'ellipse

on aura

./.=rfxy/i+(^iy=./x

donc

yds = — /«^ — [d^— b')x ^dx .

Si l'on suppose a^b, de sorte que l'ellipsoïde ait été engendré par l'ellipse tournant autour de son grand axe, on écrira

^ iTrb r A/'— //' , ,

et l'intégrale à obtenir sera celle qu'on a déterminée (p. 890) pour l'aire d'un segment de cercle. En prenant pour limite inférieure zéro, on trouvera donc

j, __ Ttbxsja" — [d^ — b'^)x'^ izd^h a^x

Si l'on suppose en second lieu b^a, l'ellipsoïde est de révolution autour du petit axe, et en écrivant

S— ;- I K/ Fi z-hX^dx,

on est ramené à l'intégrale dont dépend la rectification de la parabole, de sorte qu'il vient, en prenant encore zéro pour limite inférieure.

n bx \/a*-i- ib^— a^) x'^ rta^b . X[/b''— u^-h- \/a*-^ {b'— a^)x^ S = \j '- — + , log -^ î^-^ — '— ■

Je ne m'étendrai pas davantage sur ces applications du Calcul intégral, et en renvoyant aux Ouvrages déjà cités de M. Bertrand et de M. Serret, où elles sont traitées avec de

APPLICATIONS GfiOMÉTRIQDES. 4^9

grands développements, je passerai à un dernier point, quia pour objet le calcul numérique des intégrales définies.

Êyaluation approchée des intégrales.

Les méthodes d'approximation sont de la plus grande importance dans le Calcul intégral, à cause du petit nombre de fonctions qu'on peut intégrer sous forme finie explicite. L'une des plus intéressantes est celle que Gauss a donnée dans son célèbre Mémoire intitulé : Metlwdus nova integralium valores per approximationem inveniendi [Commentaires de la Société royale de Gottingue, i8i5); je vais l'exposer succinctement en commençant par la remarque suivante.

L Supposons qu'entre les limites Xt et X une fonction /(^) soit développable en série de cette manière :

les termes «o, Wi,... étant des fonctions continues de x, et le reste r„ s'annulant pour n infini, je dis qu'on aura pour toute valeur de la variable comprise entre x» et X le développement en série infinie

j f[x)dx— l i/^rlx ->- j u^fLc -h I Wj<7xH-.... t/x, 'Jx^ Jx, t/ar.

Effectivement, l'expression proposée de/(^) donnant

Jr*x /*x nx r>x /»x

f{x)dx~ j i/^dx -h j », r/.r H- . . . -T- I u^dx -h l r,/lx,

il suffit de prouver que / r„</x = opourninfîni.Onyparvienl

à l'aide d'une formule importante que je vais établir. Partant de la relation

44o CALCUL INTÉGRAL.

donnée par la série de Taylor limitée à ses deux premiers termes, j'observe qu'on peut écrire

de sorte qu'il vient

f'{x)dx =^{x — ^J/'[x„-+- 9(x -- ^J],

OU, en mettant /{^) au lieu de la fonction quelconque/'!^), et posant \ = Xo-\- 6{x — :!Co)

C''f{x)dx = [x-x,)f[l).

Cette quantité ^ est intermédiaire, comme on voit, entre Xo et X, de sorte qu'en appliquant ce résultat à l'intégrale de r„ dx nous aurons

r„dx = [x - X,) p^,

p„ désignant ce que devient r„ pour x z:=l; mais on a admis quer„= G pour n infini; on a donc également p„= o, ce qui démontre la propriété annoncée. Ajoutons que, si la série

supposée convergente pour les valeurs de x comprises entre ,^0 et X, devient divergente pour x =:X, l'équation

rf{^x)dx— j U^ dx + 1 j/, dx -^ . . . %

x^ Jx^ Jx^ 'f

aura lieu pour x = X— e, si petit que soit e. Or les deux membres sont des fonctions continues de x, ayant constamment la même valeur; leurs limites pour £ = o seront donc égales, pourvu que la série du second membre soit conver gente.

J'appliquerai ce qui précède aux développements

\-nX'

— I — JT'-t- X*

= H- -Jt'H -X*-'. j-^tX*-)-,

qu'on lire de la formule du binôme, el qui seront convergents pour X compris entre zéro et l'unité. En intégrant les deux membres, el prenant pour limite inférieure des intégrales zéro, nous en conclurons

arctangx — a- — s- + -^ h...,

1 J-' 1 . 3 r' 1 . 3 . 5 .r' arcsmx — xH -h -, -r -^ ri^ h...,

la variable étant inférieure à l'unité. Pour x =:i^ les développements de ^ et . cessent d'avoir lieu; mais, les

1 + X ^i — jpï

séries obtenues pour arc tang.r et arcsina; étant alors convergentes, on trouve que (*) :

arctangi^^^i-i + ^-i-i-...,