TT II 1 . 3 I

arc sin I = - = I 4- - ^ H r - h —r: - -t-

Considérons encore l'intégrale

'* dx

v/(i-x')(i-Fx'

qui est la fonction elliptique de première espèce. En supposant la constante k<ii, et x non supérieur à l'unité, on

(*) La série de Maclaurin donnerait difficilement les développements de arc tangx et arc sinx, que nous tirons immédiatement du Calcul intégral, à cause de l'expresàion compliquée des dérivées d'un ordre quelconque de ces fonctions. ( Foir sur ces dérivées le Traité du Calcul différentiel et du Calcul intégral de M. Bertrand, t. I, p. i/|3.)

aura

yjl—k'x-' 2 2-4 2.4.6

et,, par suite,

I I 1 Px"" 1.3 k'x'

Nous en conclurons

Ç"" clx Ç"" dx ir^^, Ç"" x^dx

Jo \/^- x^]{i-k'x') ~Jo \/i-x'^ -^ Jo y/V^J"'