Jo \Ji-x
et ce développement, subsistant pour x = i, donnera la formule suivante, employée en Mécanique dans l'étude du pendule, savoir
Jo y/{i-x')[i- k'x') 2L VJ \2.4/ V2.4.b; J
On trouvera semblablement pour la longueur du quart de l'ellipse
^ 2 L'" W ^■^- i^j P - iMTej T • • • J'
et nous voyons que, la première intégrale étant désignée par F, et la seconde par E, suivant la notation de Legendre, on aura
ou bien
relation qui joue un rôle important dans la théorie des fonctions elliptiques.
II. La mélhode d'évaluaiion approchée des intégrales, reposant sur le développement en série convergente de la fonction à intégrer, est donc restreinte au cas où l'on possède un tel développement. Or le théorème de Maclaurin, qui donne une formule générale de développement, exige la formation des dérivées successives de la fonction, et entraîne le plus souvent dans de longs et pénibles calculs, môme dans ces cas si élémentaires des expressions arcsin^c, arctang^. A la vérité on peut, à l'égard du reste, s'affranchir des discussions que nous avons faites, en considérant les fonctions (i -h x)"*, log(i -+- x). par ce beau théorème de Cauchy, savoir :
Toute fonction sera développable en série convergente, suivant les puissances entières et croissantes de la variable, si le module de cette variable est inférieur au plus petit module des valeurs qui rendent la fonction discontinue (*).
Mais le calcul des coefficients subsiste avec toutes ses difficultés, et nous allons maintenant montrer de quelle manière, en admettant seulement la possibilité du développenrient, on a entièrement réussi à l'éviter.
Soit l'intégrale proposée
les limites étant finies, et la fonction (f{x) étant développable en série convergente depuis :r= a jusqu'à ^ = (3, de sorte que l'on ait
(f{x) — /•,-+- /■, j- -4- /jX^-T . . .-I- /„j:"-i-
Je désignerai par a, b,.... /, n quantités arbitraires comprises entre a et j3, et je vais prouver qu'on peut obtenir pour les coefficients A, B,..., L des valeurs indépendantes delà nature delà fonction <p(^), et telles qu'on ail
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(*) Serret, Cours de Calcul différentiel et intégral, 1. 1, p. j8o.
444 Calcul intégral.
R devenant nul lorsqu'on néglige les quantités /r„, kn+^, dont l'indice est égal ou supérieur à n. Effectivement, on a, d'une part,
et, de l'autre,
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