Dans le cas particulier où F (p) = ^, on a
y = px -h/ip);
endifïérentiant, il vient
o = [x-^/'{p)]dp,
équation à laquelle on satisfait de deux manières.
Si l'on pose dp = o, il vient p = c^ et éliminant p^ on a pour l'intégrale générale
y = ex -t-/(r).
Si l'on pose x -4-/' (/^) = o, et que l'on élimine p entre cette équation et la proposée , on aura l'intégrale singulière; car la valeur de^ tirée de la dernière équation sera une fonction de o:, et l'élimination conduira au même résultat qu'en substituant cette fonction de z à c dans l'intégrale générale : la solution qu'on obtient ne résulte donc pas d'une valeur particulière attribuée à la constante.
46 covjBS d'analyse.
On voit d'ailleurs qu'éliminer p entre x -^/'{p) = o eij = px -hfip) revient à éliminer c entre
^ H-/' W = o, et X = cx -hf (c);
et comme x -4-^*' (c) est la dérivée de cx+f(c)^ par rapport à c, on parviendra à la solution singulière de Téquation donty = ex +f(c) est Fintégrale générale.
35. Nous allons appliquer à la résolution de quelques questions géométriques le procédé que nous venons de faire connaître.
Soit proposé de tromper une courbe telle que le pro^ duit des perpendiculaires abaissées de deux points fixes sur une quelconque de ses tangentes soit constant.
Désignons par 7.c la distance de ces deux points , et par i* le produit des perpendiculaires 5 prenons pour origine le milieu entre les deux points donnés , et pour axe des ac la droite qui les joint : la condition donnée conduira immédiatement à l'équation
le signe supérieur correspondant au cas où les deux points sont d'un même côté de la tangente , et le signe inférieur, à celui où ils sont de côtés différents. On tire de cette équation
(i) y=px-\-s]{d'± b^)p^ ± b^ ;
ce qui est un cas particulier de l'équation j^ smpa: +/(/>)• En suivant la marche indiquée généralement, on trouve
posant d/7 = o , d'où p = a^ oc désignant une constante arbitraire 5 puis éliminant p entre cette dernière équation
SRCONDE PARTI K.
Cl l'équation (i), on aura Tintégrale générale
j = aj? -4- v^(c'^ ±: b') a» ± b\
qui représente une infinité de droites, tangentes à la courbe ayant pour équation
d'où l'on peut déjà conclure que cette courbe est la solution singulière, puisqu'elle est l'enveloppe des intégrales particulières.
Dans le cas où Ton prend les signes supérieurs , elle n'est autre chose qu'une ellipse dont les foyers sont les deux points donnés, et dont le petit axe est égal à ib. Si l'on prend les signes inférieurs, les deux points étant de côtés diiTérents de la tangente, les perpendiculaires sont respectivement moindres que les segments de la droite égale à 2c, d'où résulte c<^b, La courbe est donc alors une hyperbole ayant pour foyers les deux points donnés , et pour axe imaginaire ib.
Le second facteur de l'équation (2) doit aussi donner la solution singulière, comme cela a été démontré généralement. En l'égalant à zéro , on a
Éliminant^ entre les équations (i) et (4), on retrouve l'équation (3) , comme cela devait être.
Dans cette question , la courbe que l'on avait en vue de déterminer est donnée, non par l'intégrale générale, mais par la solution singulière; ce qui montre que cette dernière doit toujours être cherchée avec le même soin que la première.
36. On donne deux parallèles, et sur chacune d'elles un point fixe p et Ton demande Véquatioîi de la courbe
48 couBS u'analysk.
telle, quen lui menant une tangente quelconque, les seg" ments déterminés sur chaque parallèle entre le point fixe et le point de rencontre auec la tangente donnent un produit constant i*.
Soit 2a la disUDce des deux points fixes \ prenons Torigine en son milieu, Taxe des x suivant sa direction, et Taxe des j^ parallèle aux deux lignes données.
La condition donnée fournit Téquation
[y — pxY — a}p^ = iJz 6'.
Le signe + du second membre se rapporte au cas où les deux segments seraient d'un même côté de l'axe des x , et le signe — au cas où ils seraient de côtés différents. On tire de cette équation ,
y = px H- ^a^p^ db^%
d'où , en différentiant ,
On aura l'intégrale générale en posant
^ = o , d ou p z= OL,
OL désignant une constante arbitraire, et substituant akp dans l'équation différentielle de la courbe-, ce qui donne
y zrz OLX -^ yà^oi} ± b^.
On aura la solution singulière en éliminant p entre l'équation différentielle de la courbe et la suivante
Ce calcul conduit à l'équation
SECONDE PARTIE. /g
qui représente uae ellipse ou une hyperbole , rapportée à un système de diamètres conjugués , suivant que Ton prend les signes supérieurs ou les signes inférieurs.
L'intégrale générale représente toutes les tangentes à l'une ou à l'autre de ces deux courbes.
37. Proposons-nous encore de déterminer la courbe telle que la partie de chacune de ses tangentes inter^ captée entre deux droites rectangulaires, soit égale à une quantité donnée a.
En prenant les deux droites rectangulaires pour axes de coordonnées , on est conduit à Téquation
ap
y =: px -h
le radical comportant le double signe. On trouve en la différentiant ,
L'intégrale générale sera , en désignant par c une constante arbitraire ,
ac
y = ex ■+-
on obtiendra la solution singulière en éliminant p entre Téquation différentielle de la courbe et la suivante
On tirera d abord
<-.T=-fâ'.
qui , remis dans la première , donne
2« ëdit.
5o coVRS u'analtse.
tirant de là la valeur de /[7^ et la substituant dans la précédente , on parvient à Téquation
dont la discussion est très-facile.
Nous allons démontrer maintenant que cette courbe n'est autre que répicycloïde qui serait engendrée par un
point d'un cercle ayant pour rayon j et roulant intérieurement sur un cercle de rayon a.
En efTet, soit OB (fig» i) un rayon quelconque d'un cercle ayant pour rayon a] décrivons un cercle qui ait pour diamètre BC , moitié de OB, et prenons l'arc BM égal à l'arc BA , A étant un point fixe du premier cercle ; le point M appartiendra à répicycloïde en question , et il s'agit de prouver que la partie de sa tangente au point cpielconque M, qui sera comprise dans l*angle droit YOX, est égale à a.
Or, la normale à cette courbe étant BM , la tangente sera MC, et il faut prouver que l'on a LN = a.
Remarquons pour cela que , d'après la théorie de la mesure des angles, et la condition AB = BM, l'angle BCM est double de NOC , et par conséquent NOC = CNO; d'où CN = CD.
On prouverait de même que l'angle LCB est double de LOC, et que, par conséquent, LOC = OLC 5 d'où LC= OC et , par conséquent , LN == a ^ ce qu'il fallait démontrer.
Equations différentielles totales*
38. La première question que nous avons traitée dans le calcul intégral a eu pour objet de trouver une fonction d'une seule variable, lorsqu'on connaît l'expression de sa différentielle au moyen de cette variable seulement.
SECONDE PARTIR. 5l
Nous avons considéi'é ensuite les fonctions de plusieurs variables indépendantes , et nous nous sommes proposé de les déterminer, connaissant l'expression de leur diiférentielle totale , ou , en d'autres termes, de touffes leurs dérivées partielles du premier ordre. Revenant ensuite au premier problème, nous Ta von s étendu au cas où la différentielle par rapport à la variable indépendante unique renfermait dans son expression la fonction elle-même mêlée avec la variable indépendante : c'est ce qui constitue l'intégration des équations diilérentielles à deux variables. Nous allons maintenant étendre de la même manière le second problème , et supposer que la dijfférentielle totale de la fonction inconnue de plusieurs variables indépendantes renferme la fonction mêlée avec ces variables. Les équations qui donnent une pareille expression à la différentielle de la fonction cherchée se nomment équations différentielles totales. Nous nous bornerons à celles qui renferment trois variables.
Leur forme la plus générale est
(i) Pistr 4- Q'sfr -h Rû^2 = o , ou dxz=^^dy'^:-dz'^
X sera considéré comme la fonction des variables indépendantes jy, z , et la différentielle totale de x renfermera à la fois cette fonction et les variables indépendantes, P, Q, R étant des fonctions quelconques àe x^ y^ z.
Si l'on connaissait la valeur de x eny et z^ en la remettant dans ces trois fonctions, — ^ et — — seraient
identiquement les dérivées partielles de x par rapport ky et z. Donc d'abord, si l'on cherche la fonction la plus générale de y qui satisfasse à la condition que sa dérivée , par
rapport a y^ soit — p-? -^ étant considéré comme une con-
stante , la valeur cherchée de x sera renfermée dans celle
5?. COURS d'analysf,
que Ton aura ainsi déterminée; et il ne restera plus qu'à
l'assujettir à satisfaire à la seconde condition.
dx O
Il faut donc d'abord înle'grer l'équation — = — --> ou
dans laquelle z est une constante. Ce problème rentre dans la théorie précédente ; et , en le supposant résolu , on aura une équation U = o entre x^ y^ z , C ; C désignant une quantité arbitraire, indépendante de x, y^ mais qui peut renfermer -z d'une manière quelconque ; et il s'agit maintenant de déterminer C , s'il est possible , de manière que la dérivée partielle de jr, par rapport à z , soit iden-
tiquement — 5-' ^u moins, lorsqu'on aura substitué à x
sa valeur tirée de U = o.
Différentiant l'équation 11 = o, en traitant y comme constant , il vient
rfU (IV fdx\ dVdC^ dz dx \dz / dC dz
et substituant à ^- la valeur — — qu'il doit avoir, il sera
dz P *
nécessaire et suffisant de satisfaire à Téquation
fW R(œ'd\JdC ^^^ dz P dx'^ dC dz ~ ^'
dans laquelle x est censé remplacé par sa valeur.
Mais, comme C ne doit pas renfermer j^, il est nécessaire que la substitution de x dans cette équation en fasse disparaître j^. Si cela n'a pas lieu, le problème est impossible; et si cela a lieu, on a une équation différentielle du premier ordre entre C et -3. Son intégrale générale renfermera une constante arbitraire*; et reportant la valeur de C qu'on en déduira , dans l'équation U =3 o , on aura
SICONDE PARTIE. 53
l'équation qui détermine x de manière à satisfaire aux conditions proposées.
On voit que la question n'est pas toujours susceptible d'une solution , et que , quand elle en a une, l'intégrale est donnée par une équation entre x, j", z , qui renferme une constante arbitraire, et que l'on obtient par l'intégration de deux équations du premier ordre , à deux variables.
39. Il suit de là que quand la question proposée est possible, l'équation différentielle résulte de l'élimination d'une constante arbitraire entre une équation à trois variables et sa différentielle totale égalée à zéro; et cette considération va nous conduire à une proposition importante.
Soit V = C l'intégrale de l'équation (i) résolue par rapport à la constante arbitraire C En la diflerentiant, rélimination de G se trouvera effectuée, et le résultat
sera identiquement le même que si l'élimination s'était faite autrement.
L'équation
^V , dV ^ dV ^
devra donc être identique avec l'équation (i), lorsqu'on aura réduit le coefficient de la même différentielle, par exemple de <ir, à avoir la même valeur de part et d'autre.
dx Multipliant donc l'équation ( i ) par — y elle deviendra
identique avec (3), et son premier membre sera , par conséquent, la différentielle exacte d'une fonction V des trois variables indépendantes x, y, z. D'où se tire cette conséquence , que lorsque la question admet une solution , le premier membre de Véquation donnée devaient une différentielle exacte , quand on le multiplie par une certaine fonction des trois variables
54 COUKS D* ANALYSE.
Soit fx le facteur tel que fJÎPclx + /^Q^ -H l^l^dz soit une différentielle exacte, on aura les trois conditions suivantes :
ify- dx dz dx dz dy
OU , en les développant ,
d9 ^du, dO ^da
dz dz dx dx
dQ ^ du, dK ^ du.
Si Ton multiplie la première par R, la seconde par — Q, la troisième par P, qu'on les ajoute ensuite, et que l'on supprime le facteur fz, on devra avoir identiquement
,,, ^fdQ dK\ ^fdK dJ?\ ^ /dP dq\
U sera donc inutile de chercher à résoudre la question quand cette identité, facile à vérifier, n'aura pas lieu.
Réciproquement., toutes les fois qu'elle aura lieu , la question admet une solution ; car nous allons démontrer que dans ce cas le premier memhre de l'équation (2) devient indépendant de^ quand on en élimine x.
Mais , pour plus de simplicité , nous supposerons que l'équation U = o ait été résolue par rapport à la constante C, et soit remplacée par U = G , ce qui ne changera rien aux conditions. L'équation (2) se change alors en la suivante ;
dV r/U ^dx rfC
et il faut toujours que la substitution de x eu fasse disparaître j^.
Soit u le facteur qui rend Vdx + Q^ diflërentielle exacte , on a
pVeU H- tfQdf = é/U, .et
ax dy
La quantité qui ne doit plus renfermer y est
et il suffit d'exprimer que sa dérivée par rapport à y est nulle , en considérant x comme une fonction dey, doqt la
dérivée partielle par rapport àj^ est — ^- On obtient ainsi
■^^""^zd'x'P ^\^ </.r'P/* \dy dxv)^^^
En multipliant par P et observant que — = i/Q, et — = vV^ les deux premiers termes deviennent
dz dz
ou , en développant ,
et la dernière partie RfP-^ Q;/") *^ l'éduit à
Ri^ ( -^ — T]' ^* condition précédente devient donc , en
56 crotins d^autaltsê.
supprimant le facteur commun u^
équation qui ne diffère pas de l'équation (4). Donc cette équation, déjà démontrée nécessaire , est en même temps, suffisante pour que la question proposée admette une solution.
On procéderait dVne manière semblable dans le cas où le nombre des variables serait plus grand.
Des équations linéaires d'un ordre quelconque.
40. On appelle ainsi celles dans lesquelles la fonction cherchée et ses dérivées jusqu'à Tordre m n'entrent qu'au premier degré , et ne se multiplient pas entre elles. Leur forme générale est
A,..., U, V étant des fonctions quelconques de x. Ces équations jouissent d'une propriété remarquable , lorsque le dernier terme V manque. Elle consiste en ce que la somme de plusieurs solutions forme encore une solution de la même équation.
Soit, en effet, l'équation
Siyi,j^t) 6tc., sont des fonctions qui satisfassent à cette équation , on aura
^my^ rf—'j^, . T ''•^' -U ÏTv - o
SECONDS PA&TIfi. 5*]
Ajoutant ces équations , on aura le même résultat que si l'on substituait ji +jKî + • • • "hjm à J dans (2) . Donc la somme d*un nombre quelconque de fonctions de x qui satisfont à Inéquation (2) forme encore une solu-* tion de cette équation] et, par conséquent, si Von connaissait un nombre m d'intégrales particulières renfermant chacune une constante arbitraire, leur somme serait l'intégrale générale.
On observera d'ailleurs que si une valeur dej^ est connue, on peut la multiplier par une constante arbitraire, sans qu'elle cesse de satisfaire; de sorte que si les m fonctions ^1, jKi,...; X,n satisfont à l'équation (2), son intégrale générale sera
C|,Cs,..., c,n désignant des constantes arbitraires, et en supposant qu'on puisse les déterminer de manière que pour une valeur quelconque de or, les valeurs de y^
-r-9 • • • 9 -; r soient tout à fait arbitraires.
dx aaf^~^ ,
4-1, Lorsque l'on aura à intégrer l'équation (i), on commencera par chercher à intégrer l'équation (2) qui est plus facile. Si Ton y peut parvenir complètement, nous allons montrer comment on en peut déduire l'intégrale générale de l'équation (i).
Soit
y = c^Xx H- c^Xi -h ... -H C^fm
l'intégrale générale de l'équation (2) quand on considère Cl, Cj,..., C;„ comme des constantes arbitraires. Il est évident qu'on peut, d'une infinité de manières, substituer à ces constantes des fonctions de x telles que l'on obtienne l'intégrale générale de l'équation (i)", et nous allons voir que l'on peut en avo^r une détermination qui n'exige que de simples quadratures.
58 COURS D^ANALTSE.
En diil'érentiant Texpression ci-dessus , on obtient
dy = c,rf/, 4- c^fi -h ... H- c«rfj« -{-yxdc, -{-y^dc^ -h . . . r«^/c„,. Or on peut assujettir Ci, c,,..., c^k la condition
y.dcx -h y^dc^ -f- . . . -f- ymdc„, = o , et il en résulte
dy = c,dy, -f- r,efy, + . . . 4- c^dy„„
On différentiera cette nouvelle équation, et Ton égalera encore à zéro Tensemble des termes qui contiendront les diiFérentielles dci^ dct^,,.^ dc,^] et l'on continuera ainsi jusqu'à d"^^^y inclusivement : on aura , de cette manière , m — I équations entre les différentielles Je,, dci^.,.^ dc,n et des fonctions connues. Substituant ensuite dans Téquation (i) les valeurs dej^, dj^ . . . , d"^y^ on aura une dernière équation qui , jointe aux premières > déterminera complètement les inconnues Ci, c,,.,., c,„.
Ces m équations sont les suivantes :
yxdc^ H- y^dCi ~h. . .H- j^rfc^ = o, dyydcy -k-dy^dCi -4-. . .-h dy^dc^ = o,
d'^^y.dcx -h d'^^y^dc^ -+-...-+- û?'"-'/«rfc« = o, d"'-^y^dc^ -h d'^-^y^dc^ -h. . -4- d'^-^yn.dc^ = V«^a:™,
et il faut bien remarquer que ces équations peuvent avoir lieu en même temps si l'on est parti de l'intégrale générale de l'équation (2). En effet, les coefficients de rfci,...^ dc,n sont précisément ceux que Ton aurait pour
c, 5 ... 5 c,„ dans les expressions de j^, ~- v • > , , 9 en désignant par j^ rintégrale de l'équation (2). Or nous supposons que , pour une valeur quelconque de x^ on peut satisfaire aux équations obtenue^ en égalant ces exprès-
sions à des quantités quelconques , et en tirer des valeurs finies Cl,..., c,„. Donc aussi le système des équations où dci , . . . , dc,n entrent de la même manière qile dans celles-ci , ne renfermera aucune incompatibilité. Il donnera, pour ces inconnues , des valeurs de la forme
dCi = Xi^x, dCi = X/Zj:, . . . , dc„ •=. ^md^^y d'où
et
(3) j^==/i(aiH-/X,d:a:) -f-/j(aj-h/X,rfx)-|- . . . -{-/«(««-H/X^^o:).
C'est l'intégrale générale , puisqu'elle renferme m constantes arbitraires.
43. Si l'on ne connaissait pas m intégrales particulières de l'équation (2), la question ne serait pas ramenée immédiatement aux quadratures.
Supposons, par exemple, que l'on en connaisse m — i intégrales particulières, on ne pourra plus établir que m — i conditions entre les m — i quantités Ci , Cj, . . . , c,„i .. Alors l'expression de c?'""~*j^ renfermera dc^^,,,^ dc,n^i'^ et j^my renfermera d^Ci^...^d^c„^. La substitution dans l'équation (i) fera toujours disparaître Ci , Cj,..., c,„i, mais leurs différentielles premières et secondes y entreront 5 et comme les m — 2 équations établies entre dci , dc^^, . . ydc,n^i déterminent ces différentielles en fonction de dc^, on aura une équation linéaire du second ordre qui renfermera dcij d*Ci^ mais non Ci. On la ramènera au premier ordre,.
de sans qu'elle cesse d'être linéaire , en posant — -^ = z. Elle
pourra toujours s'intégrer complètement, et il s'introduira ainsi deux constantes arbitraires. De simples quadratures feront ensuite connaître les tw — 2 autres quantités r,, ^3,..., c,„i , et il s'introduira ainsi m — 2
6o COURS D^ ANALYSE.
nouvelles constantes arbitraires, de sorte que la valeur dey
renfermera m constantes arbitraires et sera , par conséquent, Fintégrale générale de l'équation (i).
43. Si Ton n'avait connu que m — i intégrales de l'équation (2), on n'aurait, pu- établir que m — 3 relations entre Ci, c^,..., C;„î, et l'équation (i), après la substitution , aurait renfermé des différentielles troisièmes. L'élimination de C8,...,c«8 aurait donné une équation linéaire du troisième ordre renfermant dc^ , /i*Ci , d?c^ , mais non c^. On pourrait donc encore l'abaisser au second ordre , sans qu'elle cessât d'être linéaire ; et si l'on pouvait l'intégrer complètement, on en déduirait, comme dans le cas précédent, l'intégrale générale de l'équation (1). En appliquant les mêmes raisonnements, on verrait que si l'on connaît m — n intégrales particulières de l'équation (2), l'intégration complète de l'équation (i), et, à plus forte raison, de l'équation (2) est ramenée à celle d'une équation linéaire de l'ordre n , et à de simples quadratures.
44. Il est facile de démontrer que l'intégrale générale de l'équation
est nécessairement de la forme
En effet, soit j^i une solution de cette équation^ supposons qu'elle ne renferme aucune constante arbitraire, ce qu'on peut toujours faire, puisque, s'il en existait, il n'y aurait qu'à leur attribuer des valeurs particulières. L'équation (a) admettra pour solution
y z=i cyry
SECONDE PARTIE. 6l
c désignant une constante arbitraire. Considérant maintenant c comme une fonction de a:, on aura
f^y = y, de -+- cdy, , d}y = y,d''c 4- ^dy.dc + cd'^y,, d^jr = jr^d'^c 4- nidy^d'^^c -H . . . + cd'^jTi,
En substituant dans l'équation (a), les termes multipliés par c disparaissent, et Ton a une équation linéaire de la forme
d^c d^~^c de
d^'^^'7hf^^'^''''^^'di^'''
de et 5 en posant — = m ,
Soit i/i une solution de cette équation, sans constante arbitraire, c'uf en sera encore une, et Ton aura
c = e'fu^dx -+- c", d'où / = c"yi + dy^Ju^dx, On a donc une solution de Téquation (/i), de la forme
y = c,y^ -+- CaJ,,
j, étant une fonction de x différente dej^j.
Donc , puisque cela peut s'appliquer à toute équation linéaire, on aura une solution de l'équation (&) de la forme
d'où
c z=z oLfuyda: -f- ^fu^dx H- 7,
et, par suite,
y = oLX^fuydx 4- ^ytfuidx 4-7/,,
c'est-à-dire que l'équation (a) a une intégrale de la forme
y = ('lyi ■+- «^2/2 4- <^:»7:i.
Il en sera doue de même de réquatioii [b)^ et ainsi de suite 5 jusqu'à ce que l'on ait pour y une expression renfermant m constantes arbitraires, et qui sera l'intégrale générale.
45. Le calcul précédent conduit encore à cette importante proposition , que l'équation (a) ne saurait avoir de solution singulière. Supposons, en effet, qu'il y en ait une, et désignons*] a par j^i, après qu'on aura remplacé par des valeurs particulières quelconques les constantes arbitraires, si elle en renferme. Les raisonnements qui ont été faits dans le numéro précédent conduiront encore à une valeur de y de la forme
y = C|^i -f- Ci y^ -\r • • • ~|- Cmym >
qui sera nécessairement l'intégrale générale. Mais j^i s'obtient en supposant nulles toutes les constantes excepté c, : elle est donc une intégrale particulière , quelques valeurs qu'on y ait mises pour les constantes , et non une solution singulière, comme on l'avait supposé. D'où il suit que les équations renfermées dans la formule (a) ne peuvent jamais avoir de solutions singulières.
46. Cas oii Fon connaît une intégrale particulière de V équation (i). — Lorsque l'on connaît une intégrale particulière de l'équation (i), on peut ramener la recherche de son intégrale générale à celle de l'intégrale générale de l'équation (a).
Soit, en effet, u cette intégrale particulière 5 on posera j^=u-f-z dans l'équation (i), et, en supprimant les termes qui se détruisent d'après l'hypothèse , il restera
d'^z d'^~~^z dz
