I. A . i.. ^ ^ ^ «L. 'J' . L Uz ^^ O

djf^ £ir**^' * ' dx

et l'on est ramené, par conséquent, à la recherche de l'intégrale générale de l'équation (2).

SICONDC PARTIE. 63

Soit pour premier exemple

A,..., U, ^v"? 7 étant constants* On posera

j = ax" + 6x«-' 4- . . . 4- Xa? 4- f*.

On identifiera les deux membres après la substitution dans Téquation proposée , et il en résultera /i + i équations qui détermineront les «+ i inconnues a, 6,...,fjt. On rentrera donc dans le cas où le second membre serait nul.

Soit pour second exemple

on posera

jr z=z acos{nx -h j») H- êsin(/z^ -f- r).

En substituant dans la proposée , le premier membre ne se composera que de termes dont les uns renfermeront cos (/zor+p), les autres sîn (nx + p) midtipliés par des constantes. En égalant les coefficients de ces deux expressions dans les deux membres, on aura deux équations qui détermineront a , 6.

Connaissant ainsi une intégrale particulière, on est ramené au cas où le second membre serait nul. On agirait d'une manière analogue si le second membre renfermait, en outre, des termes semblables dans lesquels les coeflScients netp seraient changés.

47. Autre méthode pour V intégration de V équation linéaire complète. — M. Cauchy a donné une méthode pour trouver une intégrale particulière de l'équation

quand on connaît une intégrale de la suivante ,

telle que pour j; = a , on ait

quelle que soit la constante a. , et l'on conçoit qu^on pourra toujours trouver une valeur de z satisfaisant à ces conditions, si Ton connaît l'intégrale générale de Téquation (2), qui renferme m constantes arbitraires.

Soit, en effet, z =fÇx^ a) cette valeur de z. Posons

nous en déduirons

Mais, par hypothèse, f(a , a) est nul, quel que soit a ; donc f(x^ x) = o, et Ton a seulement

dv /. dx

On trouvera de même

dx'^f. dx'^""'''

daf^' "~J^ da^-' "'

doL,

dx'' ^ ' J^ dx^

Substituant à j^ et à ses dérivées les valeurs ainsi obte-

nues dans l'équation (i), elle devient

ce qui est une identité en vertu de l'équation (2).

Connaissant ainsi une solution de Féquation (i), on aura son intégrale générale, en y ajoutant l'intégrale gérale de l'équation (2).

Formule relative aux intégrales d'ordres supérieurs.

48. Si dans l'équation (i) tous les coefficients sont nuls, excepté le dernier, on a une équation de la forme

y étant une fonction quelconque de x. En intégrant m fois de suite par rapport à x, on durait la valeur suivante de j^:

/m Ydjf =zfdxfdx . . .fydx 4- c.af-' 4- ... 4- c^.

Mais, au lieu de quadratures successives, on peut, au moyen d'une formule que nous allons faire connaître, exprimer j^ par une suite de quadratures simples, indépendamment les unes des autres.

On aura d'abord, en intégrant par parties, et en omettant les constantes ,

pydx^ =z Jdxjydx = xjydx — jyxdxy pydx" = — {x'fydx — nxfyxdx -\-fyx^dx).

En continuant d'intégrer successivement, et opérant les réductions, on reconnaîtrait que les coefficients numériques suivent la même loi que ceux du développement 2« édit. 5

GG OOUES u' ANALYSE.

(le (a — />)", L*t que l'on a

Mais pour démontrer rigoureusement cette formule, supposons qu'elle soit vraie pour une certaine valeur n , et prouvons qu'elle sera encore vraie pour n + i .

Or, en partant de la dernière formule , supposée exacte, on trouve, en intégrant par parties ,

x"f\dx—-jc"-*fyxdx 1 .2 ^

\ ±nxf\x^-*dx

fVx"€lx.