j Fi(n — i)(/i — 2)...(/i — /^-f-O^L. .4

Or on a

donc

I 1 — ^^ ^ ... znnzzz-ni

et la formule précédente devient

• n-hr

ydx

ifl-4-l

^zfVx^dx

La loi en question est donc vraie pour l'indice w + i , si elle l'est pour l'indice n ; et comme elle a été reconnue pour » == 2 , elle est démontrée pour toutes les valeurs entières de n.

Ainsi la valeur générale de j, cpi satisfait à l'équation (a) , sera , en rétablissant les constantes,

x^^fVdx - ^:ili/vx^x -h . . .

i.2...(iw— i)j±:i^ 1 — i ^x-^P-'fVxPdxzfZ...

±f\x^-'dx

Equations linéaires à coefficients constants.

49. La forme la plus générale de ces équations est la suivante :

dx^ daf""^ dx

Si Ton suppose d'abord que le dernier terme V soit con-

stânt , on le fera disparaître en changeant j en jr -^ — • de sorte que l'équation quHI suffit de considérer est

68 COURS dVnalysk.

et si l'on peut en trouver m intégrales particulières, on formera l'intégrale générale en les multipliant chacuiie par une constante arbitraire, et les ajoutant. Posons jzrze'^*^ a étant indéterminé, et substituons dans l'équation (i), il vient

(2) fl* -H Afl*-» 4- . . . -h Ta -h U = o.

On aura donc m intégrales particulières en prenant successivement pour a les m racines de cette équation. Si on les désigne par ^1, i^s?**-? ««o ^^ P^r Ci, c,,..., c« des constantes arbitraires, l'intégrale générale de l'équation (i) sera

(3) x=zc, e*"^' 4. c^e^** H^ . . . 4- c«e^-'.

50. Il est facile de démontrer que cette équation donne bien l'intégrale générale de l'équation (i). Il suffit, pour cela, de faire voir que pour une valeur particulière x= a^on peut déterminer les constantes de manière que

J^'T-^""> . ,, ^ soient égaux à des quantités arbitraires.

On remarquera d'abord que ces constantes étant entièrement indéterminées , on peut mettre j^ sous la forme

et Ton aura, pour déterminer Ci, Cj,..., c„, les équations suivantes dans lesquelles j^o 5 j\9* • • sont les valeurs dej^ et de ses m — i , premières dérivées , pour x = ot:

^1 4- ^2 4- . . . 4- C;„ =7o, a,c, 4- O2C2 4- . . . 4- fl«r^ =y^ ,

(5) < «;ci4-fl'î'^24-.. .4-fl?«c«=r1»

Des équations du premier degré de ce genre conduisent à

des formules dont il n'est peut-être pas iu utile de rappeler ici la démonstration.

Multiplions la première équation par une indéterminée /r, la seconde par /c', etc., et la dernière par i, puis ajoutons-les, nous au^Qns

pour déterminer Ci, nous égalerons à zéro les coefficients de c,,..., c,„, 'ce qui donnera, pour déterminer A, i\ . . . , /[('""*) , les équations en même nombre

Les premiers membres de ces équations ne sont autre chose que les valeurs que prend le polynôme h -f- Ua + Ko? + • •• + «'^"'V que nous désignerons par (p(a) dans lequel on remplace successivement a par toutes les racines

de Téquation (a), excepté «, : le polynôme (p (a) aura donc pour racines «j, «sv**? ^m^ et il en résultera

(p(«) = (a — «,)(a'— «3). . .(« — flf;„)= — ^—^^

en représentant par F {a) le premier membre de l'équation (2). De cette équation l'on déduit

et l'on aurait de même

et ainsi de suite \ de sorte que si Téquation (2) n'a pas de racines égales , les dénominateurs des inconnues c^i, Cs,...,

qui sont F' (a,) , F (a^) , seront différents de zéro, et par conséquent on pourra satisfaire aux équations (5); ce qu'il fallait démontrer. Les équations (4) ou (3) représentent donc bien l'intégrale générale. Achevons maintenant ce qui se rapporte à la détermination de ces inconnues , par exemple de c, ; sa valeur est

Une reste donc qu'à connaître les valeurs de A, A',... * or elles résulteront de l'identité

A- H- A'« -4- r.i' -4- . . . -4- ««-« =: li^,

a — fl,

Il suffira de développer le quotient fini de F {a) par a— a, et les coefficients des différentes puissances de a seront A, A',.... Les formules que Ton obtiendra ainsi conviendront pour a^, «8,... par la simple substitution de ces racines respectives à a^ .

51 . Nous nous bornerons, sur ce point, à l'examen du cas général où les racines sont différentes, et nous ne traiterons pas le cas particulier où il y en aurait d'égales.

Si l'équation (a) a des racines imaginaires, la valeur (3) de j se présentera sous forme imaginaire; mais rien n'est plus facile que de lui donner une forme réelle. Soient a ih S v^ — I deux racines imaginaires conjuguées de l'équation (a), les termes qui en proviendront dans la formule (3) seront de la forme

ou

ou encore

e^x (^^6a: y'- i ^ g^ - 6x sf^l^ ^

r'''''[A(cos8.x' + y/— I sin^.r) + \^{ym^x — y^— i sin^j?)].

SECXINDK PARTIE. 'J t

Or, Â et B étant des quantités arbitraires, réelles ou imaginaires ) on peut les déterminer de manière qu'on ait

M et N étant des constantes arbitraires. Les deux termes que nous considérons dans Féquation (3) seront donc remplacés par

c«'( M cosêo: -h N sin 6x) ,

et la valeur de^ se présentera sous une forme réelle.

52. Si l'équation (2) avait des racines égales, les termes correspondants de la formule (3) se confondraient en un seul 9 et l'on n'aurait plus l'intégrale générale de l'équation (i), puisqu'il n'y aurait plus m constantes arbitraires. Mais il est encore facile de trouver dans ce cas l'intégrale générale.

Soient ai et a^ deux racines que Ion suppose égales. On peut altérer infiniment peu les coefficients de l'équation (i), de telle sorte que l'équation (2) n'ait plus de racines égales , et que, par conséquent , la formule (3) donne l'intégrale générale. Lorsque les coefficients tendront vers ceux de l'équation (1), cette intégrale tendra vers une limite qui satisfera nécessairement à l'équation proposée , et qui en sera l'intégrale générale , si elle renferme m constantes arbitraires.

Soit «1 -h ^ la valeur de la racine qui tend à se réduire àrti. Les termes correspondants de la valeur de / seront

ce ' -f- c e • , ou

ce^v^ + c'^«.' / , l ^^ + 4 . . \ ,

ou , en posant c -f- c = A , c'cî = B,

les consumes c et c étant arbitraires peuvent toujours être choisies de manière cpie B et A aient des valeurs finies quelconques, quelque petit que soit i. Donc, à mesure que J tend vers zéro, la somme dès termes que nous considérons tend vers la limite Ae^»' + Bxd^*', et la for* mule (3) se change en celle-ci

(6) r = ^''^'(A4-Ba:)4-C3^^«'-hT7:4-c„e^"^

Cette valeur dey est l'intégrale générale, puisqu'elle renferme m constantes arbitraires.

53. Si trois racines étaient égales, on supposerait d'abord Féquatîon modifiée de manière que deux racines seulement fussent égales, ce qui conduirait à la formule (6) ; on remplacerait a^ par a^ -f- cJ, et Ton aurait

Or, A , B, Cs étant arbitraires, on peut poser

A', B', C étant de nouvelles constantes arbitraires; et, faisant tendre d vers zéro , on aura pour l'intégrale générale

Ou continuerait de la même manière si l'on supposait une quatrième racine égale à a,, et Ton voit qu'en général, si n racines deviennent égales à a^, on aura pour l'intégrale générale

(7) y = ^^'^(A' + B'^ H- CV 4- . . . + PV-')

o4. On peut encore déterminer d'une autre manière

Tintégrale générale, lorsque n racines a^, ag,..., a„ ont une même valeur a. En elTet, on ne connait plus alors immédiatement que m — /z+i intégrales particulières, et ce cas rentre, par conséquent, dans celui qui a été traité dalis un des numéros précédents.

Soit Ce''' le terme auquel se réduisent n termes de Téquation (3) , et généralisons-le en considérant C comme fonction de a:; nous aurons

d'^Y dC

daf* dx

«J /»<Wf

dx dx

Substituant dans l'équation (i), les termes qui renferment C disparaissent en vertu de T équation (2) -, ceux qui renferment —- disparaissent, ainsi que les suivants, jusqu'à

ceux où entrent ^ inclusivement, parce que la racine

a annule les n — i premières dérivées de l'équation (2). Il reste donc une équation en C dans laquelle l'ordre le plus élevé est m, et le moins élevé est n. Son intégrale générale fournirait m constantes arbitraires , mais nous n'avons besoin que d'une valeur de C qui en renferme w, et c'est ce que nous aurons en posant

^=0, d'où C = A' -f-B'a:+...H-PV-'; dx" ^

ce qui conduit de nouveau à la formule (7).

55. Si le dernier terme V était fonction de .r, on pourrait commencer par le négliger, et l'on intégrerait l'équation (1) comme nous venons de le faire 5 puis on considérerait les constantes comme des fonctions de .r, et Ton

'];4 COURS u' ANALYSE.

obtiendrait la solution complète de l'équation proposée par le procédé indiqué précédemment. Nous ferons observer seulement que si quelques-unes des racines û,,...,a„, étaient imaginaires ou égales , il serait convenable d'employer Fintégrale de l'équation (i) avec les modifications que nous savons indiquées dans ce cas.

Cette équation peut aussi s'intégrer par la méthode de M. Cauchy, et nous la choisirons pour donner un exemple de cette méthode. Soit

En négligeant le second membre , l'intégrale générale sera de la forme

a. étant une constante choisie arbitrairement , et «i, «2,. . ., a,n les racines , que nous supposerons toutes inégales, de l'équation

a"^ + An'^' -{- . : . -h Tfl -t- U = o.

Il faut d'abord déterminer les constantes Ci, c^,..., c,,^ par la condition que pour x = a on ait

on est conduit ainsi aux m équations suivantes :

C{ -f- C-i -|- . . . H— Cf„ :::2: O, «1^1 -H â'a ^2 -h . . . 4- «/n Cot = O,

«7"* (^^ + rt';^' ^2 4- . . . + a,n c,„ = F (a). Les équations se résoudront comme on Ta vu précédera-

ment , et , en posant

«« -f- Afl"-' + . . .H- Ta -H U =/{a), on tcouvera

La valeur précédente dej devient ainsi

Il faut maintenant intégrer celte expression par rapport à a entre les limites o et x, puis y ajouter l'intégrale générale de l'équation

laquelle est, en désignant par «j, a^,..., a^ des constantes arbitraires ,

L'intégrale générale de l'équation proposée sera donc

["■^/ij/''""""''"""]-