Soit

(i) F (x, y, dx, dy^ d'y) =:= o

une équation de ce genre, et dont les termes sont tous finis , ou infiniment petits du même ordre.

Posons

y = tiXj dy = pdxy d'^' == — dx\

En faisant d'abord ces substitutions dans Téquation (i), y et ses différentielles auront disparu , et tous ses termes seront homogènes par rapport à x et dx. En effet, ils Tétaient primitivement par rapport à a:, dx^ y^ dy^ d^y , et l'on a substitué'à ces trois dernières quantités des expressions homogènes du premier ordre , par rapport à a: et dx. Et comme tous les termes doivent être du même ordre infinitésimal, dx disparait nécessairement, et par suite x. Donc l'équation obtenue sera de la forme

(2) f(u,p, g) = Oy

et donnera

Or -— peut s'exprimer de deux manières au moyeu de n et p , car on a

d'où

udx

xdu = pdx^

dx

du

D'une autre part , on a

djj

q dp dx dp

- = -^ 9 et , par suite , — = — -^ ■ r r

X dx X 1 ^[Pj ")

86 cou&s d'akaltsk.

Egalant les deux valeurs de — ? il vient

équation différentielle du premier ordre , qui , intégrée ,

donnera

c désignant une constante arbitraire.

On connaîtra facilement x en fonction, de u, puisque

Ton aura

dx du

d'où, en désignant par c une nouvelle constante arbitraire, et par 1 x (" 9 ^) l'intégrale du second membre,

y et comme m = -? on aura

et Ton connaîtra ainsi l'intégrale générale de Téquation

proposée.