Lorsque le second membre de Téquation (3) est de
la forme
udp
on remplace Féqua'tion (3) par la suivante :
dx udp
^ ~~ ?(py
qui devient, en multipliant par - »
df pdp
d'où Ton tire
EiFecluant rintégration et désignant par c une constante arbitraire, on mettra j-" sous la forme
Si ron peut résoudre par rapport à ;;, on ramènera Téquation à la forme
et Ton intégrera les deux membres; sinon , Ton tirera des équations précédentes
d'où
et Ton éliminera p entre cette équation et j^ = c(^ (p), 67. Nous trouverons une application de cette méthode
dans le problème suivant : Déterminer la courbe dans
laquelle le rayon de courbure est proportionnel à la
normale.
On obtient immédiatement Téquation différentielle
m étant le rapport du rayon de courbure à la normale. Le signe supérieur se rapporte au cas où le rayon de courbure est dans le sens de la normale , et le signe inférieur, au cas où il est en sens contraire.
Posant
fîOUftS D* ANALYSE.
on obtient
\^muq^ d'où ^ —
ZjjZ mu
et, par suite,
du mudp
(p^u) -^i-hp'
équation qui ne rentre pas dans celles que nous avons intégrées. Mais, d'après la remarque faite dans le dernier numéro , on la remplacera par la suivante :
dx mudp
d'où Ton déduit successivement
dx mdp dy mpdp
dx= ^y
Il y a des valeurs particulières de m qui rendent cette intégration possible , savoir tti = 2 , m = i. Examinons successivement ces deux cas.
I®. Soit m = 2 , on aura
En preDant le signe supérieur, on a
^ = dy\/7zrj.-'
équation d'une cycloïde dont la base est située sur l'axe
des X, et dont le cercle générateur a pour rayon - ? dont
la valeur est arbitraire. Et, en eifet, on sait que dans toute cycloïde ainsi placée, le rayon de courbure est double de la normale.
En prenant le signe inférieur, on a
d'oi
ou
ou
a: — c' = 7.slc{x — c)S
équation d'une parabole dont l'axe est perpendiculaire à l'axe des x,
La normale se rapportant à une droite donnée , que Ton a prise pour axe des x^ si Ton changeait cet axe , il faudrait se rappeler que la normale doit être prolongée jusqu'à la droite donnée, et non jusqu'au nouvel axe des X. Mais on peut prendre l'origine en tel point que Ton voudra de cette ligne , par exemple celui dont Tab-
scisse est c , ce qui revient à faire c = o 5 on a ainsi
et il est facile de vérifier que , quel que soit c , la parabole représentée par cette équation a son rayon de courbure double de la normale et dirigé en sens contraire.
2^. Soit m= 1'^ l'équation différentielle de la courbe sera
djr
dx =
En prenant le signe supérieur, il vient
jrdy
dx =
d'où
X — c' = — yc' — / ', ou
équation d'un cercle quelconque ayant son centre sur l'axe des x. Et l'on voit, en effet, qu'alors le rayon de courbure sera toujours égal à la normale, et dirigé dans le même sens. Si l'on prend le signe inférieur, on trouve
d'où
Remplaçant x — c par x, on obtient
SECONDE PARTIE. Ç)l
qui se réduit à
C*est la courbe que l'on nomme chaînette : elle est symétrique par rapport à Taxe des j-, et son sommet est à la distance c de Taxe des x. Il est facile de vérifier que son rayon de courbure est égal à la normale et dirigé en sens contraire.
Une des équations que nous venons de traiter peut être intégrée plus simplement par une considération particulière : c'est celle que Ton obtient en supposant m == i , et prenant le signe supérieur ^ on a alors
- -^ dx' dx^ '
dv des deux premiers termes formant la dérivée de k *t^ ' on
^ " dx
aura, en intégrant
dx
et , en intégrant de nouveau ,
/ '^ -t- (X CY = c'y
équation qui ne diffère pas de celle que nous avions déjà trouvée.
Elimination des variables entre les équations différentielles simultanées. Intégration de ces équations.
68. Considérons d'abord deux équations à trois variables Xyjr^ Zj et dans lesquelles on peut toujours supposer que les dérivées soient prises par rapport à la même variable indépendante , x par exemple; y et z sont des
fonctions de x quil s'agit de déterminer, et nous commencerons par y appliquer le développement en séries.
On peut toujours supposer que Ton tire de ces équations les valeurs des coefficients différentiels de Tordre le plus élevé par rapport à r et z^ s'ils entrent dans les deux équations. Il faut toutefois excepter le cas particulier où l'élimination de l'un ferait disparaître en même temps l'autre. Les deux équations peuvent donc , en général , être conçues sous la forme
(fy / d^-'y d'-'zK
si Ton prend arbitrairement les valeurs de r,.*»? -3 — 3 '
^,...5 ;^— i:,' dans lesquelles on fait x = o^ elles servi-
ront à exprimer toutes les dérivées suivantes de j^ et z ^ pour la valeur x = o^ et l'on pourra , par conséquent , développer )^ et -z par la formule de Maclaurin. On voit que leurs expressions renfermeront m + n constantes arbitraires. Au lieu de la valeur particulière a:=o, on pourrait en choisir une autre quelconque Xq et employer la série de Tavlor.
Si l'élimination de -7-- avait entraîné -^—^ la seconde
des équations précédentes serait d'un ordre inférieur à n. Ce cas est renfermé dans celui que nous allons traiter. 69. Soit m l'ordre le plus élevé par rapport à y dans
les deux équations. On tirera la valeur de -7-^ de Tune
des équations, et on la reportera dans l'autre , si cette dérivée s'y trouve 5 il n'y aura plus alors dans celle-ci que des ordres inférieurs à tn par rapport à y. On en tirera la
SECONDK FARTIK. 98
valeur de la dérivée la plus élevée en ^ , et Ton aura deux équations de la forme
dans lesquelles on a m > m', et n < w' ou n > n.
1*^. Soit 71 < w'; prenons arbitrairement les valeurs de
^'***' /7gw-i ' ^ V**? . „'^, pour X = o', toutes les dérivées supérieures seront connues pour la même valeur X = o , au moyen de celles-ci et des équations ( i) et (2) , de sorte qu'on pourra eflfectuer le développement dey et z. Le nombre des constantes arbitraires qui y entreront est m H- 7i', et dans le cas actuel , on a m -|- /*' > m' -}- 71. 2^. Soit w > «'; le développement de y exige toujours
que Ton connaisse les valeurs de z,..., — pouro: = 0.
Or, depuis Tordre w', elles devront être tirées de l'équation (2) et de ses déri,vées jusqu'à l'ordre w en 2; ce qui conduira à l'ordre m' +7i — w' en y. Or, si l'on avait
tri -^ n — « > «* î l'équation (i) ferait connaître -7-=^ 9 au
moyen des dérivées d'ordres supérieurs à m^ et celles-ci au moyen d'autres plus élevées; on ne pourrait donc eflfectuer le développement de y. On doit donc avoir m -(- n > m' -I- 71 pour que le calcul précédent puisse faire connaître j^ et ^ -, et dans ce cas le nombre des constantes est encore le plus grand des deux nombres m + /i' et m' + n.
70. Si l'on avait eu m -H w > /» + n\ on aurait au moins l'une des deux inégalités m!^m^ n';;>n''^ soit par exemple m >»w. On tirerait des équations données les
94 COURS u'analysk.
valeurs ne -p—r et — - ; on aurait ainsi
et les développements seraient possibles, parce que les équations rentrent dans le cas précédent. Le nombre des constantes serait m'-^n et serait encore le plus grand des deux nombres m' '■^-nelm + n,
71. Supposons maintenant un nombre quelconque d'équations simultanées , qui doivent déterminer, en fonction de x, les variables j^, z , u,.... Nous considérerons seulement le cas où Ton peut les concevoir résolues par rapport aux coefficients différentiels des ordres respectivement les plus élevés par rapport kj^ Zy u , . . . , savoir
d ^y d"z dPu daf* daf* dxP
Il est clair qu'au moyen des équations données . qu'on différentiera indéfiniment, il sera suffisant et nécessaire de connaître les valeurs que prennent y, z^ m,..., ei leurs dérivées jusqu'aux ordres m — i, n — i^;? — iv9 inclusivement , et dans lesquelles on fera x = o^ pour pouvoir effectuer le développement de chaque variable par la formule de Maclaurin. Ces constantes sont entièrement arbitraires , et leur nombre est
72. Laissant de côté maintenant les développements en séries , nous allons chercher à éliminer toutes les fonctions, excepté une, et ramener ainsi la question à l'intégration d'une seule équation différentielle.
Proposons-nous d'abord d'éliminer j)^ entre deux équations dans lesquelles le coefficient différentiel de l'ordre le
SFXONUE PARTIE^ ^5
plus élevé par rapport ky est -j^ et, par rapport à z, -7— •
Supposons, en premier lieu, que ces deux expressions entrent dans chaque équation , combinées d^une manière quelconque avec les coefficients différentiels des ordres inférieurs, ainsi quej^, z eix. Soient ces équations
df d'^jr dz d'^z\
( dy d'^y dz d'^z\
Si l'on différentie ces deux équations un même nombre de fois quelconque, on introduira autant de nouvelles dérivées àej d'ordre supérieur à m, et un nombre double d équations^ de sorte que, si Ton effectue ainsi m diffë* rentiations , on aura 2/77 + 2 équations renfermant y et ses 21/2 premières dérivées, et Ton pourra en éliminer toutes ces quantités par les règles ordinaires de Talgèbre. Leur système sera ramené à une équation de Tordre m-^n entre s et x, d'où l'on pourra tirer la valeur de z en fonction de j: et de m 4- n constantes arbitraires , et à 2/iï4-i équations dans lesquelles on substituera à z et à ses dérivées leurs valeurs, actuellement connues, et elles ne renferm.eront plus que / et ses 2m premières dérivées. Eliminant ces dernières, il restera une équation entre j^ et X et les m + n constantes arbitraires qui se trouvaient dans z*
Ainsi , en général, les fonctions j et z renfermeront les mêmes constantes arbitraires^ en nombre égal à la somme des nombres qui désignent V ordre le plus éles^é des équations par rapport ày et z respectis^ement.
On agirait d'une manière analogue et l'on arriverait à des conséquences semblables , pour un nombre quelconque de fonctions, avec un nombre égal d'équations.
