COURS U* ANALYSE

73. Mais il peut arriver que les coefficients difiérentiels de Tordre le plus élevé n'entrent pas à la fois dans les deux équations.

Supposons que les coefficients différentiels de l'ordre le plus élevé soient, dans la première,

d^y dH

daf^ dz^ et , dans la seconde ,

dx'^' da:^'

On différentiera m fois la première équation, et m fois la seconde. On aura alors nt'^m '•{- •! équations renfermanty et ses dérivées jusqu'à l'ordre m + m'. On pourra donc éliminer toutes ces quantités, et il restera une équation entre z et x^ dont l'ordre sera le plus grand des deux nombres m + n', et m' -\-n] et cet ordre est égal au nombre des constantes qui entreront dans la valeur de z. Substituant à z et à ses dérivées leurs valeurs connues , dans les m -|- w + I équations , on en pourra éliminer les m H- m dérivées dejr^ et il restera une équation entre y, x^ et les constantes qui entrent dans z.

74. Considérons , en particulier, le cas de m équations où toutes les dérivées sont du premier ordre , et peuvent en être déduites sans que l'on rencontre aucune incompatibilité ou indétermination ^ on aura alors

— z=ff(xyy, «,..., a);

dx et, d'après ce qui précède, les constantes arbitraires se-

SV€ONDE PARTIK. g*J

ront les valeurs de j , ^ - . • • > " correspondantes kx :=zXo» Si Ton difierentie la première m — i fois et qu^on substi* tue à chaque fois aux dérivées du premier ordre qui s'introduisent, leurs valeurs tirées des équations données, on obtiendra ainsi :

• — = F(j:,^, 2,..., Il), -j^ — F, (a:,/, «,.••> ")>

et il n'y a plus qu'à éliminer les variables z , . . . , ix qui sont au nombre de m — i . Il en résultera une équation de l'ordre m enjr^ qui donnera la valeur de cette variable en fonction de x et de m constantes arbitraires. Substi* tuant cette valeur dans les m — i équations qui , conjointement avec l'équation finale , remplacent le système donné , on en déduira ^ , . . . , u en fonction de x et des mêmes constantes arbitraires.

Remarque. — Si les intégrales de ces équations sont mises sous la forme

qu'on les diflerentie , et qu'on remplace -^ , . . . , ^— par

leurs valeurs en a:, j^, ^ , . . . , w, les équations qu'on obtiendra entre ces variables seront des identités; car toute équation déduite des intégrales et des données doit être satisfaite par des valeurs arbitraires j^o? ^0 v? ^'05 correspondantes à un a: arbitraire x^.

On adonc, quels que soient j:,^-, -J,.*') "?

dx dy dz du ^

et ainsi des autres.

2* édit, n

çfi COURS d'aitaltse.

75. On peul ramener à ce dernier cas celui dans lequel on suppose que Ton puisse exprimer les dérivées

» cf"/ d^z dPu

daf^ daf" dxP

au moyen de celles d'ordre inférieur.

En effet , si Ton pose

dx-^' dx "^ '•••' dx --^ '

dz , dz^ „ dzi'^'') , ,

dx-^ ' dx -^'•••' dx -^ '

du , du* „ du^P-^) , , — *#'» — ti — n(P^^)

les équations proposées donneront les valeurs de

dfi'^') dz^"'') iMp-') dx dx dx

en fonction de oCy y^ y\...^y'^""'^\ z^ -^'vj ^^"""*\ m, m',."î ï^^'^*^' En les joignant aux équations précédentes, on aura un système composé de m + w +/; +... équations du premier ordre que Ton intégrera comme dans le cas précédent.

76. Nous avons supposé précédemment que les équations données du premier ordre pouvaient être résolues par rapport à toutes les dérivées , qui se trouvaient alors exprimées en fonction des variables elles-mêmes; mais il pourrait en arriver autrement sans que les équations fussent incompatibles.

Si l'on conçoit que l'élimination des dérivées se fasse, par exemple , en tirant de l'une des m équations la valeur

de — et la reportant dans toutes les (ni — i) autres^ puis

SEGONDC PARTIE. ^

tirant — d'une de ces dernières , et la reportant dans les

m — 2 autres, et ainsi de suite, ou parviendra^ en général , à exprimer la dernière dérivée au moyen de x^y^z^.,, et, par suite, toutes les autres. Mais si Tune de ces substitutions faisait disparaître , dans toutes les équations où on la fait ^ n dérivées en outre de celles que Ton substitue, on aurait un système d'équations dont le nombre surpasserait de n celui des dérivées et l'élimination de celles-ci , en supposant qu'il ne se rencontre pas de nouvelles variables, conduirait à n équations entre les variables même x^y., z ,..« sans constantes arbitraires. On pourrai t^ en tirer les valeurs des x variables dont les dérivées ont disparu., et il resterait m — n équations difierentielles résolues par rapport aux dérivées. Les intégrales du système proposé ne renfermeraient alors que m — n constantes arbitraires.

Soient pour exemple les trois équations

dz dx

du dx

dy dx

dz dx

du dx

dz dx

dy L'élimination de -j- conduit aux deux équations

-^ a disparu en môme temps que ~-, et si Ton élimine ^ entre ces deux équations, il en résultera une autre entre

it>o COURS d'avaltsk.

07,^5 z, qui sera

z — x^ xz — X

y — X JF -+- z

jr 2 4- 2» — xyz -{- xz — xy — x* = o.

Un eu pourra tirer z en x et ^, :et 1 on connaîtra -^

et ■— en fonction de x et r. On rentre ainsi dans le cas

primitivement traité , et l'on obtiendra les valeurs de u et y^ et , par suite, de -z , en fonctien de ,r et de deux constantes arbitraires.

Équations linéaires simultanëeis.

77. Si ces équations sont toutes du premier ordre, on a un cas particulier de la dernière question^ c'est celui où les fonctions F, /*,.«• ? ? ^^^^ linéaires par rapport à j^, z,...^ u, et renferment x d'une manièi^ quelconque ; et il est facile de voir qu'alors l'équation finale en y ^^t linéaire.

Quant à la détermination des autres inconnues , il est important d'observer que, rélimination ayant lieu entre des équations du premier degré en -z,.**» ^t lorsqu'on connaîtra j^, on tirera les* valeurs de ces' inconnues , de celles que l'on voudra des équations (i) elles-mêmes; car ces équations doivent être satisfaites , et de plus ne donneront qu'une seule valeur pour chaque inconnue.

Si ces équations ne sont pas du premier ordre , on peut les traiter par les méthodes indiquées précédemmei\t. On peut aussi les ramener à des équations du premier ordre , en posant , comme nous l'avons déjà fait ,

dr dr' dvC^-^^

dx"^ ' dx -^ '"' dx ~*^ . '

et de même pour les variables ^r , . . . , m.

SECONDE PA&TiE. lOl

On aura ainsi un plus grand nombre d'équations ^ mais il y en aura toujours un nombre inférieur d^une unité au nombre total des variables , et elles seront linéaires et du premier ordre par rapport à toutes les variables.

Si par exemple on avait les deux équations

d'^y (l^z dv dz- *

A' Ç^+ B' J^+C ^H- D'^+ E> -h F'z+ B' = o, dx^ dx^ dx dx

elles seraient remplacées par le système suivant :

î^= ' — = t!' dx dx

dr* dz*

A^-f-B— 4-Cr' A-V^t! Hr-E^-trFz -J-H = o,

dv ' dil

A'^ +B'— -hC>' -h DV H-E'/ -h F'z-f- H' = o.

dx dx

dy' dz'

Les deux dernières donneront -p- ? -7- en fonction li-

ax ax

néaire de^', z\ y, ^ ^ et, en opérant comme nous Tavons indiqué , nous aurons quatre équations de la forme suivante :

di ~'^'

^ = Mr' -+- Nz' -h Pr + Qz H- R, dx*

' 1^ = M'/'-H NV -f- vy 4- Q'2 -+- R', dx^

'i^ = M"/' + NV + vy -h Q"z -h R".

dx^

On éliminera 2, z\ y' entre ces quatre équations, et Ton aura une équation linéaire du quatrième ordre en j^. Quand elle sera intégrée, on substituera la valeur de j^

r02 COURS l/AlTALtrSfi.

dans trois des preimères , et l'on en tirera la valeur de z

qui renfermera les quatre constantes qui entrent déjà

dans j^. Si Ton avait suivi l'autre marehe, on aurait diffë-

rentié deux fois chacune des équations données, et l'on

aurait eu six équations entre lesquelles on aurait éli-

dz d*z

miné z. -r- vî -7-:' On aurait ensuite substitué à r sa vadx da^

leur en fonction de x et de quatre constantes arbitraires,

dans les cinq équations conjointes ; et Ton en aurait tiré

la valeur de z en fonction de x et des mêmes constantes

arbitraires.

Equations linéaires simultanées du premier ordre.

78, Ces équations peuvent être résolues par rapport aux dérivées des m variables j^, z, . , . , m ; et nous supposerons d'abord que les coefficients de ces variables soient des constantes données , mais que les termes qui en sont indépendants puissent être des fonctions quelconques de x. Nous aurons des équations de la forme suivante :

^-+-A,j 4-BiZ -f-. . .-f-P.w =X,,

(i) ( dx

du ^ ^ __

On pourrait les traiter par les méthodes précédentes , et l'on parviendrait à une équation lînéîiire de l'ordre m à coefficients constants. Mais il est plus simple d'employer le procédé suivant:

Multipliant ces équations, à partir de la seconde, par les indéterminées 0i, ^î,.--? ^m-n P^'» '*^« ajoutant, nous

SECONDE PARTIE. I o3

aurons

\ ax

u\ / -h (B, 4- B,Ô, H-...-hB*Ô«,)*H-...