P, -f-P^O. ■H-...-hPm^m-i

Or cette équation ne renfermerait plus que la seule y^riablej^ +0tz -f- .,. +6„,-iM, si les rapports des coefficients de ^v*'9 '* ^w coefficient dey, étaient respectivement di, dsv**?^'»-!; et ces conditions détermineront, comme on va le voir, les valeurs de 0i,."î ^m-i* Si l'on désigne par — a le coefficient indéterminé de j^, on sera conduit aux m équations

A, H- AjO, + ...-{- A„Ô«^, = — a , /Q\ 7 B| 4- Bjô, -H . . . -f- B«iÔ«.i = — flO, ,

P. -+- P2Ô1 -f- . . . -f- PmO;„-i = — a^m^,.

Ces équations détermineront les ni inconnues a, ^ivî ^«-1 î ^^ ^^ ^'^** désigne par X la fonction connue

l'équation (2) deviendra, en faisant y + ^i^ + . . .

(4) Tx-"' = ^^

équation linéaire que Ton sait intégrer. Mais occuponsnous d'abord de la résolution des équations (3).

En laissant de côté la première, on a m — i équations du premier degré, qui détermineront 0,, 02vj ^m-i en fonction de a\ les reportant dans la première, on n'aura plus que l'inconnue a^ et il est facile de voir que l'équalion sera du degré m. En effet, si Ton réunit les coeffi-

io4 couAs u'analysb.

cîents des mêmes inconnues dans les m — i équations ^ d'où l'on tire di ,.• • An^t 9 on observera que a entre au premier dt^ré dans le coefficient de Of dans la première, de 6^ dans la seconde, etc., enfin de 9^.1 dans la dernière, et que, de plus, il n'entre dans aucun autre. Donc le dénominateur commun des valeurs de ces inconnues renfermera a au degré m — i , et le numérateur, au degré /w— 2 seulement. Quand on fera la substitution dans la première et qu'on chassera le dénominateur, on aura évidemment une équation du degré m en a.

Actuellement , l'équation (4) donne

Si l'on met successivement dans cette équation les m valeurs de a , on aura à chaque fois dés valeurs différentes pour 6j , . . . ,6^«i , et l'on pourra prendre pour la constanteC des valeurs différentes arbitraires, puisque toutes ces équations subsistent indépendamment les unes des autres. On aura donc ainsi m équations du premier degré entre X et les m variables j^, z, . . . , u. Les valeurs de ces variables en fonction de x renfermeront m constantes arbitraires , et seront de la forme

Les valeurs des constantes se détermineront très-facilement si pour une certaine valeur Xo de x on connaît les valeursj^o,^ov)«o des fonctions j^, ^,..., m. En effet, on prendra . pour plus de simplicité , toutes les intégrales i\ partir de j^o 5 et si , dans la valeur de r trouvée cî-dessus, on fait X = Tq, on aura

SBGONDB PA&TIK. lo5

ce qui détermine la constante C relative à une quelconque des valeurs de a, &i,.... On connaîtra donc ainsi les m constantes Ci , Ct v • ? Qn •

Si les seconds membres des équations (i) étaient nuls , on aurait seulement

Si Ton suppose toutes les constantes nulles, excepte une, on aura des solutions de la forme

Les rapports des variables sont constants, quel que soit C, et les valeurs générales sont formées des sommes de ces solutions particulières correspondantes aux divers exposants ^i,..., a^,