Soient pour exemple les deux équations

(a) ^'4- A^- -f- Bz = o, — -f-A,j4-B,2 = o.

Multipliant la seconde par 6, et l'ajoutant à la première , il vient

"^^^^^""^ -f- (A + GA.)j +(B 4- OB.) z = o.

Posons

(6) ^4-02 = 1;, A4-ÔA,=--«, B4-ÔB, = — /lô,

Téquation précédente deviendra

(7) ;îs-^^ = ^'

el 6 sera déterminé par l'équation

106 COURSk u' ANALYSE.

Soient 0,,0, les deux racines de celle équation^ i^j, ^^^ les valeurs correspondantes de ^'^ «i? «s celles de x ^ on aura

d'où Ton tirera

Or l'équation (y) donne m = Ce"^ ; et si Ton désigne par Cl , Ci les valeurs de la constante C correspondantes à

01, (9j, les équations (e) deviendront

co 2= — ô — fl — ' 7= — s — ë

Si les racines de l'équation (cî) étaient imaginaires, les valeurs de j^ et z se présenteraient sous une forme imaginaire , et on Içur donnerait la forme réelle par les transformations ordinaires. Mais si ces racines étaient égales, les dénominateurs dey et z deviendraient nuls; alors les formules (^) seraient absurdes , à moins qu'on ne supposai, comme on peut le faire, que les constantes Cg, C, devinssent égales en même temps que 02, 0i, et ces formules donneraient les valeurs dey et ^ sous la forme -•

Pour déduire des équations (Ç) les valeurs relatives à ce cas particulier, on pourra supposer que les coefficients des équations (a) ou seulement l'un d'eux choisi à volonté, soient modifiés de manière que les valeurs de 6 ne soient plus égales , et qu'on fasse tendre ensuite ces coefficients vers les valeurs données. Il suffira de trouver les limites des valeurs de y el z, avec deux constantes arbitraires, pour avoir la solution cherchée. On pourrait

SSCOIfllB PAETIF.. IQi^

suivre pouc cela la même marche qui a élé suivie précédemment dans un cas semblable ^ mais il est possible d'abréger le calcul par les considérations suivantes , qui sont applicables dans d'autres circonstances.

On remarquera d'abord que les deux termes des fractions qui représentent j^ et z peuvent être regardés comme des fonctions de la variable Ôj qui tend vers la limite Q^ • car a dépend de 6, par la seconde des équations (S), et la constante Ci tendant vers Ci peut être considérée comme une fonction arbitraire de 9s, ayant pour limite C|. On pourra donc traiter les formules (Ç) d'après les règles ordinaires relatives aux fractions qui se réduisent à - pour

une valeur particulière d'une lettre qu'elles renferment.

DiflTérentiant donc par rapport à 9, les deux termes des fractions qui représentent j^ et ^ , on aura pour la première

et pour la seconde ,

et l'on aura les limites de y et z, en faisant dans ces e^pressiom fit = ôi , at = ai , Ct = Ci , et observant que

— * sera une constante entièrement arbitraireC, puisque C,

est une fonction arbitraire de 6,. Quant à -— % on en déter-

minera la valeur au moyen de la seconde équation (S), dans laquelle on considérera A et Aj constants, et qui donne

fia

io8 Gouft» d'amalysb.

Ou trouvera ainsi , pour le cas des racines égales ,

z = (C — C,A,x) ^''»', ^ = (C, — Ô,C 4- Ô.CA,^) ^^•'.

80. Si, dans les équations (i), les coefficients Ai, A,,..., Pi, Pf,... étaient fonction de or, la méthode employée devrait nécessairement être modifiée, parce que

^ -h 61 y H- ... + 6m-i y ne serait plus la dérivée de

y + OiZ 4-...+ Sm-iW? vu que les facteurs ôi,...> ^m-i ne pourraient plus être constants. Néanmoins on commencerait de la même manière, et Ton poserait

d'où Ton tirerait

dy dz du dv i/ô, ^0«~i

— — h Oi 3 h ... -h 0i»— I -7"= "7 ^ ~T~ ~~ • • • — " ~~; — •

dx dx dx dx dx ^ dx

L'équation précédente servirait à éliminer j' de Téquation obtenue en ajoutant les m équations^ on égalerait ensuite à zéro les coefficients des m — i variables z,..., u, dans cette équation^ il en résulterait d^abord m — i équations non linéaires du premier ordre entre les m — i variables i^ivî 9m-i5 ^^ ^n outre une équation du premier ordre en 1^, que l'on traiterait après la détermination de d| ,. . . , 0,». Pour donner un exemple de ce procédé , soient les deux équations

(«) ^ 4- Ar 4- Bz = X, -^ -h A,/-l- B.3 = X,;

multipliant la seconde par 0, et l'ajoutant à la première; il vient

dy dz

(h) -Z + 9 - H- (A -H 0A,).r -+■ (B 4- ÔB,)z = X 4- 0X,.

Posons et

j-f-Ô3 = p, d'où y = v — dz,

djr dz dv dB

dx dx dx dx^

réquation (b) devient alors

^— 2 j^-f-A,0» + (A— B,)ô — B -h(A-f-eA,>=:X-4-ôX,.

Si l'on égale à zéro le coefficient de z , on aura , au lieu de cette équation , les deux suivantes :

:r- 4- (A -f- eA.) P = X -f- OX,.

On commencera par chercher à intégrer la première, qui ne renferme que et a:; et si l'on peut y parvenir, la seconde donnera i^ sans difficulté. On déterminera ensuite j^ et ;e en prenant deux valeurs de 9 correspondantes à deux valeurs de la constante qu'elle renferme.

Si les coefficients sont constants , on peut satisfaire à la première des équations (c) en posant

ce qui donnerait pour 9 deux valeurs ; on en trouverait , par suite, deux pour j^, et l'on en déduirait j^ et z. On pourrait aussi intégrer généralement l'équation en 6, et prendre deux valeurs de cette^ fonction de x correspondantes à deux valeurs de la constante, comme dans le cas où les coefficients étaient fonctions de x.

Ce dernier procédé sera appliqué avec avantage au cas où les deux racines de Téquation

110 COURS d'analitsk.

étant égales, les formules données par le premier deviennent illusoires. Dans ce cas, on a, en désignant par a cette valeur de 9,

de d'où

c étant une constante arbitraire. En donnant à c les deux valeurs o et oc> , qui sont ici les plus commodes , on

trouve pour 9 les deux valeurs a et a + - — qui , substi-

tuées dans la seconde équation (c)^ donneront deux valeurs de f^, d'où Ton tirera j^ elz.

81 . Autre méthode dans le cas des coefficients constants. — Lorsque les derniers termes Xi ,• . . jX;» des équations (i) manquent, on remarque d^abord que la somme de plusieurs systèmes de valeurs dej^,..., u, qui satisfont séparément à ces équations, y satisfait aussi, et que, par conséquent 9 il suffit de trouver m systèmes renfermant chacun une constante arbitraire.

Pour cela on établira des rapports déterminés arbitraires entre les variables, en posant

d'où résulteront les équations suivantes :

^ 4- r (A, 4- B,a H- . . . + P.fx) = o,

\L—-\-y{km -H B„a -f- . . . -f- P„,fx) = o.

Pour que ces équations s'accordent, on aura les m — i

SECONDE PARTIR. ] l i

conditions

A, 4-B,a -h. ..-hPjfA =r a (A, 4- B,a -f. . . .-+-?,;*),

Afl, -f- B«a + . . . H- P„f£ = p (A, + B,a -h . . . H- P.fx),

ou , en introduisant une nouvelle inconnue — a qui représente le facteur commun à tous les seconds membres ,

A| -H B,a -f- . . . -f- P,jx = — a y

,^. , A2 -f- Bja -f- . . . -H P,fx == — rza, (o) {

A« -f- B«a -f. . . + P„pt = — au.

Si des m — i dernières on tire les valeurs de a, ê, . . . , p., on reconnaîtra , comme dans le cas précédent , que Féquation en a est du m*'"** degré, et il serait facile de prouver l'identité de ces deux équations en a, d'après la forme des équations (3) et (6).

Pour chaque valeur de a on aura un système de valeurs de a, 6,..., jut, et il ne s'agit plus que de connaître j^, qui sera donné par l'équation

d'où j" = Ce^^^ C étant arbitraire 5 on aura donc une solution des équations proposées, en prenant

On aura m systèmes semblables , en prenant pour a ses m valeurs; ils renfermeront chacun une constante arbitraire, et, en les ajoutant , on aura la solution générale de la question , exprimée par les formules suivantes :

> = C.6f^»^ 4- C,^^«* 4- ... 4- C„e«'"^, (^) izzn C,a, (?"''' -h C,a, c''*"' -h . . . -f- C„a« ^'''-',