COURS 1>' ANALYSE

Si plusieurs des racines a», «j,..., a,„ devenaient égales, on agirait comme ou Ta déjà fait en pareille circonstance, cl les valeurs dej, ^,...,a contiendraient toujours m constantes arbitraires.

82. Il est facile de passer de ce cas à celui des équations (i) : il suffit, pour cela, de substituer aux constantes Cl, Cj,..., C,„ des fonctions de x, comme nous l'avons déjà fait dans une circonstance analogue.

DifTérentiant les équations (7) et reportant les valeurs

de ^»* • ''^ ^^^^ ïes équations (i), il ne restera que les

termes affectés des différentielles de Ci,..., C^, et les seconds membres Xi , . . . , X,„.

On aura ainsi

ax dx dx ^

a,x ^Ci ^ -p oCj - ^. dCm

On tirera de là les valeurs de -"^-'v.. , — ^ en fonction

dx dx

, dex] et, en les intégrant, on connaîtra Ci , . . . , C« . Si on les substitue dans les équations (7), on aura les solutions générales des équations (i), renfermant les m constantes qui proviennent des quadratures relatives à Ci,..., C,„.

83. On peut appliquer à plusieurs équations simultanées une remarque qui a été faite précédemment dans le cas d'une seule équation différentielle.

Soient par exemple les deux équations du premier ordre

( I ) F {x,Xy z, jr ', a') = o > /(•«^. fy h r ', s') = o 7 dans lesquelles on suppose j' = y^? z' = — •

SKCONUK PARTIE. I I 3

Admettons qu^on connaisse les intégrales générales de ces deux équations , et représentons-les par

ael b étant deux constantes arbitraires.

Les équations (i) deviendraient identiques en x, a , i, si l'on y substituait les expressions (2). Si nous les différentions par rapport à a dans cette supposition, nous aurons des résultats identiquement nuls; d'où résulteront les équations

flFdy dF dz dF^dy' dV^d^ dy da dz da dy* da dz! da '

^dy df dz^ Af^dy^ ^ dz' dy da dz da dy' da dz' da '

dy dz

OU, en posant ^ = w, ^ = ^^

tïF dF dF da dFdi^

dy dz dy' dx dz' dx "^ '

dy dz dy' dx dz' dx

Concevons maintenant que dans les coefficients -— ...-^...

dy dy

on ait remis pour^, z^y\ z' leurs valeurs en x, à, i, on aura deux équations linéaires en i/ , ^, à coefficients fonctions de X, qui seront satisfaites quand on y mettra pour

a et l' les fonctions -^ -> -=-'

da da

On verrait semblablement que les équations (3) admel-

lent pour solution -^ 9 37-

Donc, si Ton désigne par Â et B deux constantes arbitraires, les intégrales générales des équations (3) 2« éd, 8

1 1 4 cuuits u'analtsk.

seront

Si Ton n'avait donné que des valeurs de y et z avec une seule constante a , on n'aurait pu avoir qu'une intégrale particulière du système (3).

On voit ainsi que , lorsqu'on connaîtra les intégrales générales d'équations simultanées de forme et d*ordre quelconques, on pourra former un système d'équations linéaires simultanées, respectivement de même ordre .^ à coefficient variable et dont les intégrales générales se déduiront des premières par de simples diiférentiations.

Intégration par séries,

84. Nous avons déjà vu comment on pouvait, au moyen des théorèmes de Taylor et Maclaurin, développer en série l'intégrale d'une équation différentielle d'un ordre quelconque. On y parvient encore au moyen des coefficients indéterminés. Nous allons donner quelques exemples de l'une et de l'autre méthode.

Considérons d'abord l'équation

(•) x~ + ^-^nxy=.o;

on trouve, en la dîfïerentiant ,

d*Y , d^Y d^Y dr

dx* ^ dx^ dx" ilx

Faisant x = o dans toutes ces équations , on a

et , en général , si m est impair, et s'il est pair,

If*

da^

d"'y dxF^

n^ Y ou ^ ,

suivant qu'il est ou non divisible par 4.

On tire de là

na? ««r* J23*.e

sin.jr sfn

x\n Ainsi, en représentant par C la constante arbitraire -;=•> on a

Cette expression, ne renfermant qu'une constante n*est pas l'intégrale générale; elle donne seulement celle qui peut se développer suivant la formule de Maclaurin.

Connaissant une intégrale particulière , on aura l'intégrale générale en regardant C conune fonction de x ; et l'on sera conduit, d'après la méthode exposée précédemment, à une équation linéaire du premier ordre.

On trouve d'abord, en substituant la. valeur de v dans l'équation proposée,

d^C r-dC r-

T l6 COURS l>'A!fALtSlt.

posant -- = p^ on parvient a

sin'.x 0î C, étant une constante arbitraire; on déduit de là

C et C" étant des constantes arbitraires. L'intégrale générale de la proposée est donc

. C sin .X Jn -4- C" cos. j: Jn

85. Si Ton employait la formule de Taylor, au lieu.de celle de Maclaurin, on obtiendrait l'intégrale générale.

-7-jl > etc., ce qui

déterminera le développement dej^ suivant les puissances de j: — Xo , renfermant deux constantes arbitraires. Il est facile de vérifier que cette valeur de j^ coïncide avec celle que donne Téquation (2), en développant celle-ci par rapport aux puissances de x — .r© , après l'avoir mise préalablement sous la forme

C, sin.(.r — x^ sjn 4- €2008.(0; — .r,) Sjti X =^ ' — ' ' ■ •