X - Xik
86. Intégrons main tenant la même équation parla méthode des coefficients indéterminés. Soit
y = ûyX^ H- a^x -f- a:^x^ -f- a^x^ 4- . . . .
La série étant ordonnée par rapport aux puissances croissantes de jr , on en déduit
ny = wa, x^ -}- na^ x -f- «fla ic^ -î- . . . ,
- ^ = 2a, ax* * -f- 2«a6x'^~^ -h 2^3 ^JC^""^ -h . . . ,
^=r«,«(a-^i):c«-V«,6(6-i)x^-V«,7(7~iK''~^+..-
La somme des seconds membres de ces équations doit être nulle, quel que soit x, en vertu de Téquation proposée : ce qui exige que les coefScients des termes de degrés di/Térents soient nuls séparément.
Le plus faible exposant est a — 2 ^ le cofficient du terme total de ce degré donne la condition a(a + i) = o , équation à laquelle on satisfait par a= — i oua = o.
x°. Soit a =3 — I. Le terme na^x^ ne pouvant disparaître de lui-même doit se réduire avec d'autres \ il faut donc que a ne soit pas inférieur à 6 — 2. Si 6 — 2<[a, il faudra 6(6-|-i)==o pour que les termes de degré S — 2 se détruisent , ce qui ne donne que ê = o , puisque o > a. Il faudra ensuite que Ton ail
les coefficients donneront les conditions
/Ï37(7-h 1) -H/ffl, =0, ««^(^ H- i) -f-««i = o,. . . .
On tire de ces diverses équations
a= — I, êrrro, 7=1, ^n:2,.,.,
U8 COURS U^NALVSK.
Il y a donc deux constantes indéterminëes a,, rt^, et la valeur de>K est
/ nx^
ou
«2 . /- . -psm.ary/î
a,cos,xJn ' Jn
solution identique avec celle que nous avions déjà trouvée.
Nous avons pris 6 — 2 < a, mais nous aurions pu
prendre S — 2 = a. Dans ce cas, nous aurions trouvé
seulement j = t"^— ^ ce qui nest qu une intégrale
particulière. Là solution n'aurait été complète qu'en considérant riiypothèse a == o que nous avons déjà indiquée, et que nous allons examiner.
a^. Soît a = o. Dans ce cas on ne peut avoir 6 — 2 < a ,
parce que le coefficient de x ^^ devrait être nul , ce qui donnerait 6(6 4- i) = o, équation impossible puisque 6>a. On aura donc 6— 2=== or, et, par suite, y — 2 = 6....
Les exposants ont donc les valeurs suivantes :
a = 0, 6 = 2, y ziz ^y, . . ',
les coefficients seront
et, par suite
fh . /- — sin.A v«
SEGONDB PARTIE. 1 1 9
Ou ne trouve donc encore qu'une intégrale particulière^ puisqu'il n'y a qu^une constante arbitraire. Réunie à celle que nous avions trouvée en dernier lieu, elle donnerait l'intégrale générale.
