Soit encore l'équation

d^y i dr

— ±. 4 :L }- y- ^^ o ; dx^ X dx

posons

'y =r A, X* -{- Aa J? 4- Aa^'' -j- . . . ,

on aura

-%^k, «x^-^-4- k.^J"-'^ -4- K-ix^-"^ + . . . , xdx

^=A.a(a-i)ar«-VA,6(6-^i).r^-^4-A,7(7-i)>'-* + ....

La somme des seconds membres de ces trois équations doit être identiquement nulle en vertu de l'équation proposée. Les termes renfermant x^"'^ doivent se détruire , ce qui donne a (a — i) + a = o ou « = o.

Les termes renfermant di^~^ ne sauraient, dans ce cas, ôtre de degré inférieur à a \ car leurs coefficients donneraient 6 = o , ce qui ne peut être. Donc

Ainsi

Les coefficients donnent les conditions

AjS' + A, = o, Aj7' -f- Aj = o, . . ., d'où

et, par suite,

I20 COURS U^ANALYSe.

On ne irouve par ce procédé qu'une intégrale particulière, puisqu'il n'y entre qu'une constante arbitraire. 88. En appliquant le même procédé à l'équation

on trouvera

ce qui n'est encore qu'une intégrale particulière ; d'où l'on conclut que l'intégrale générale n'est pas développable suivant les puissances positives ou négatives, entières ou fractionnaires de x.

Intégration des équatiom différentielles au moyen des

intégrales définies,

89. Nous avons donné des moyens pour ramener, dans certains cas, l'intégration des équations différentielles à celle de fonctions de x ou de ^ seulement. Quand cela n'est pas possible, on cherche quelquefois à ramener le problème à Tintégration d'une fonction renfermant x et une autre variable, par rapport à laquelle on intègre entre des limites déterminées , en regardant x conune une constante. Cette forme d'intégrale définie, donnée à y^ est souvent utile dans les questions de physique mathématique, et elle le serait bien davantage encore si l'on avait des tables qui fissent connaître la valeur de cette intégrale pour une valeur quelconque de la constante x qu'elle renferme.

90. Un moyen que l'on emploie souvent pour obtenir ainsi la valeur de y consiste à développer d'abord cette valeur en série, et à sommer cette série, lorsqu'on peut reconnaître une relation simple entre son terme général

SKCGNUK PARTIE. M 21

et Tiatégrale définie du terme général du développement d'une fonction connue de x et d'une autre variable, par rapport à laquelle se fait l'intégration. C'est ce que nous allons éclaircir par des exemples.

Soit Téquation

qui se présenté dans beaucoup de questions de physique et de mécanique. En l'intégrant par la méthode des coeflScients indéterminés, on obtient les deux séries suivantes, qui fournissent chacune une intégrale particulière :