I.(/71-hl) I .2.(/W-Hl)(w-h

>- = A'/ Vâ'^

Si l'on ajoutait ces deux valeurs de y^ on aurait l'intégrale générale renfermant deux constantes arbitraires A et A'. La première de ces deux séries devient illusoire lorsque y est un nombre positif impair, et la seconde lorsque ni est un nombre négatif impair. Ainsi, dans

122 COU US D^NALYSK.

tous les cas, l^utie des deux subsiste, et l'on sait cotnmeut, une intégrale particulière étant connue, on pourra trouver Finégrale générale. Si Ton désigne par j*! l'intégrale connue, l'intégrale générale sera donnée par la formule

(2) ^ = cr,-hcy,J^.

Pour obtenir une série de même forme que la seconde des deux précédentes, considérons d'abord le développement suivant :

, . a'cos'w a*cos*w ( — a'V'cos''' eosfa cosw)= i j =-7 — .. . -+- ^ {-

multiplions les deux membres par sin'^-^corfw et intégrons entre o et tt, en supposant toutefois m positif, sans quoi l'intégrale serait infinie. En ayant égard à la formule suivante, qui s'obtient par les procédés connus, de réduction ,

I cos '* w sin" Ww

- (f*-h2)(pt+4)...(p-h2l-2)(^+20 j, ^'''''^^''^

et dans laquelle il faut , pour la même raison , supposer |ui > — I , on arrivera à l'équation

ros(a cosw) sin"""' wc?w = 1 sin™"' wr/w — ... » J 9

) I sin*""'*)

sin"*""'r>)r/^3 eu

facteur,

sin'"-'Ww ( / «v

ce qui n'est autre chose que notre seconde série, à un facteur constant près. L'intégrale qu'elle exprime peut donc se mettre sous la forme suivante :

ces [xsjn cosw) sin''^'w^(w,

pourvu que l'on ait w > o.

Quant à la première série , qui peut s'écrire ainsi :

nx' / nx*^ ^

on voit que la série comprise entre les parenthèses ne diffère de la précédente que par le changement de m en — m + 2 . On pourra donc mettre cette dernière équation sous la forme suivante, pourvu que l'on ait m <; s ,

^ rrr B, .r'-*" I fos (.r ^/i oos &> ) sin '"-'"&)<y&j, B, étant une ronstanlr arbitraire. L'intégrale générale do

124 couaft »'analysk.

Téquation ( i ) sera donc

(3) / ^' -f- B| j:'"" I cos (j?y« cos w) sin ''~'"«f/w,

toutes les fois que Ton aura les deux conditions

Si m est en dehors de ces limites , une seule des deux in tégrales subsistera , et Téquation (3) , réduite à l'un de ses deux termes , ne donnera plus qu'une intégrale particulière. Dans ce cas, l'équation (2) fera connaître l'intégrale générale.

Considérons maintenant les deux cas particuliers correspondants à m = o, et m = 2.