Soit maintenant m = 2, et, par suite
on ne conservera que le premier terme de la. formule (3), et , en effectuant l'intégration , on trouvera
Gsin.jrv^
D'après cela, l'équation (2) donnera pour la valeur de l'intégrale générale ,
C sin.ir y/i -h Ci cos.a? y/i
On aurait pu traiter directement l'équation (5), et poser y = - ; on obtiendrait ainsi
dx^ +''« = «'
ou
w = c sin.o: ^ + C| cos.a: ^n , et, par suite,
Cà%\n,x^ +C, cos.j; y/i
93. 11 est un autre cas particulier qui exige un artifice analogue à celui que nous avons plusieurs fois employé
126 COUAS D*ANALYSK.
dans certains cas de racines égales : c'est celui où Ton a m = I * les deux parties de la formule (3) se réduisent a une seule, et Ton n'a plus qu'une intégrale particulière, bien que la valeur de m tombe entre les limites o et 2. On pourrait bien encore recourir à la formule (2)^ mais on obtiendra beaucoup plus simplement l'intégrale générale de la manière suivante :
Remplaçons m par i + c^ dans la seconde partie de y^ dans la formule (3) -, elle devient
B , x^^ I cos {x v« ces w) (sin w)~ é/w ;
or
f8inw)"~^= i — ^l.sin») H /'sinoj — . . . ;
d'où
a:~*^(sin»)~^=: I — ^(1. JF-f- l.sin«) + . . .•;
et la seconde partie de la valeur de y devient, en négligeant les puissances de â supérieures à la première ,
cos (xyn cos Oi>) <^>
cos {x ^n cos&>)(i. ^ + 1 . sin w) dta ; la première partie àe y devient de même
ces [x sjn cos w) dtù -f- B^ I cos \x sfn cos «) 1 . sin u^o . • Ajoutons ces deux expressions et posons B 4- Bi = C ,
SRCONDE PARTIK. I 27
C désignant une constante arbitraire , on aura
cos [x \ln ces w) dîà
XTT ODS {x y/» cos 6)) (i. a; rh 1. sin &>) f/oj
+ B^ I cos (x ^/z cos &>) 1 . sin Wm.
Supposons maintenant que i tende vers zéro, et Bd vers une constante arbitraire Ci ; on aura pour la valeur corn* plète de y^ en passant à la limite, et observant que 1.j: + 2I. sinw = 1. (jtrsin'o)),
^- = C I cos \x ^n cos w) dfà
+ C, f cos(x^/zcos«>>)L(x9in'6>)<^).
Telle est l'intégrale générale de l'équation
94. Il est bon de remarquer que toutes les fois que m sera un nombre pair positif ou négatif, Tune des deux parties de la valeur de y donnée par l'équation (3) pourra s'exprimer sans aucun signe d'intégration; quant à l'autre, elle disparaîtra , vu que m sera en dehors des limiter o et a. Pour le démontrer, désignons, en général, par Ap l'in-
XTTcos(X çosw)sin''wrfw; l'intégration par
parties donne la relation suivante, en supposant/? >> 3 :
Ap — Ap-i ^^^ A^-4.
Si p est un nombre pair, on parviendra, au moyen de
