COUBS l>'Alf4ITSE

cos(/cosw)r/ci),

qui ne peut être obtenu exactement en fonctionne ^. Si, au contraire, /7 est impair, A^ est ramené à As et Ai qui peuvent être calculés exactement et ont pour valeurs respectives

asin> . 4 / • ^ ^ -^x

A, = — r — 9 A3 = ^(sinX — AcosA);

d'où il résulte que Tune des deux intégrales particulières qui entrent dans Féquation (3) pourra toujours être exprimée en x^ sous forme finie , lorsque m sera un nombre impair positif ou négatif.

95. On peut encore présenter l'intégrale de l'équation (i) sous luie forme qui est souvent préférable à celles que nous avons considérées jusqu'ici , et particulièrement lorsque m est un nombre pair positif ou négatif.

Posons

les constantes a. A, Ai , As, etc., étant indéterminées, ainsi que la fonction f (jr), dont nous désignons les dérivées successives par y' {oc) , (p" (x) , etc. Substituons cette valeur de y dans l'équation (i), et cherchons s'il est possible d'annuler les coefficients des diverses puissances de a:, qui seront en évidence.

En dijBférentiant deux fois de suite y, on trouve

-^ =toA«x"" ç?(x)-hmA,(a-*-i)jc"" ^'(x) -+-»»A, (a-*- 2)*^'y''(x)-h...

-j-mAr " p'(x) -j-iîiAiX f''{x)-+-...,

^ = A«(« - 1)*'' -\ (a:)H-A.(aH- 1 )ax*" ' ç,'(x) -+-A.(aH-2) («-ht jx^y^Cx)^. . .

-}-QAax"*'^'(x)-h aA, (a -^ i )x"çj"(x)4-...

-h Ax'*ç''(.r)-+-....

SECONDE PARTIE. I2g

Si nous substituons ces développements dans Téqualîon (i), et que nous égalions à zéro le coefficient du terme général qui contient o:,*"*"'""^, nous trouverons

[(« -^P) (« -f-/? -h/w — I )A^-+- (2a-ha/?-4-wi— 2) A^, ^-Ap^;\ffP{x)

-f- nAp^2 ffP-^ (jp) = o ;

et pour que cette relation entre <f^(x) et 9 ''-'(a:) soit plus simple et ne dépende pas de p^ nous poserons

(a -{-/?) (a 4-/?-+-»!— i)Ap-f-(2a-f-2/? -f- /w — 2) A^, = o;

d'où il résultera

ff [x) -f- «y/»-' {x) = o,

équation à laquelle on satisfera , quel que soit le nombre entier p^ en posant

f^" {x) + nff{x) =: o,

d'où l'on conclut

<p(x) = Csina'V^-f- C'cosjry^,

C et C étant des constantes arbitraires. Mais ce calcul ne s'applique pas à tous les termes de la série qui résulte de la substitution de la valeur de y dans lequation (i); il suppose que p soit au moins égal à 2 , et il est nécessaire de considérer à part les deux termes qui renferment les puissances a — i et a — 2 de o:. En égalant à zéro leurs coefficients respectifs , on obtient

k{(x,'- i)-f-wa=o, A, (a 4- i)(a +/71) 4- A(»i-h 2a)= o.

La première donne

a = o, ou a= I — m y

et la seconde conduit, dans l'un et l'autre cas, à l'équation

2* édit. Q

i3o Goms d'analyse.

Examiuons successivement les développements correspondants à ces deux valeurs de a.

1°. Soit a = I —m; la relation générale entre A^ et Ap«i devient

p{^p — /w -4- i)k.p = (/w — 2/7) Ap-,.

En changeant successivement p en p — 1 , p — 2 , etc., on déterminera A^ en fonction de Aj ; et comme Ai= — A, on connaîtra le coeflicient général A^ en fonction de A qui restera indéterminé, mais que Ton pourra prendre égal à l'unité, à cause des constantes C , C. On trouvera ainsi

^ {p — /w-hi)(/? — /?ï)...(3 — m) ' 1.2.../?

et la valeur de y aura pour expression

/- /- diCsinxJn-hC'cosxJn) Csinx^n-^Ucosxyn'X—^ ^—z — ^+...

(ot -4) . . . (/w - 2/?) ( — x)P dP (c sin x s/ n-\-C cos x ^) (/?ï-3)...(/?i-/?-4-i) 1.2.../? iixP

Lorsque l'on trouvera pour un certain coefficient Ap une valeur égale à zéro , la série arrêtée au terme précédent satisfera à l'équation différentielle, et V intégrale générale sera donnée par un nombre fini de termes. Cela arrivera toutes les fois que m sera un nombre pair positif.

2^. Soit maintenant a == o ; la relation entre A^^i et Kp devient

/ X * m -f-ip — 2

p[p + m — i) An = 7 : ;

d'où l'on tire , en supposant encore A = i ,

__ {m -h 2) (m 4-4)- . . (/w H- 2/? — 2) (— ly ^ ^ (/w -h I ) (/lî -h 2) . . . (w -h/? — 1 ) * 1.2.../?'

SECONDE PARTIE. ]3f

et la valeur de y sera

n ' r , ^1 r d{Cs\n X si n -^^ C cosx ifn^ y=:Csmxsjn -\-C/ cosx^n-^x-^ 1 — ^——-2±lllji^

dx

(— x)^(m-h2)(/yi4-4)'»«(^w+2^-2)c^/^(Csinxv//2-hCcosjr\/ ^ )