I.2.../?(m-|-l)(/W+2)...(/7î-|-/?-l) ^xP

On arrêtera celte série, comme la précédente, au terme dont le coefficient sera nul 5 ce qui arrivera si m est un nombre pair négatif. D'où Ton tire cette conséquence importante, que Yintégrale générale de V équation (i) peut toujours s'exprimer par un nombre Jini de termes lorsque m est un nombre pair positif ou négatif,

96. Equation de Riccati, — L'équation non linéaire que l'on désigne ainsi est la suivante :

du

Si l'on pose, avec Euler, v = — , on obtient, en faisant

^ au '

rti = A,

et tout se réduît à intégrer cette équation linéaire du second ordre : car la valeur générale de u sera de la fornui

C et C étant des constantes arbitraires ; il en résultera

et, par suite,

du dui dut

dx dx dx

^duy du2 c <iw, du2

\ dx dv 1 U dx dx

a C«, H- C'ms o, c

l33 GOUBS D^KALYSS*

Cette valeur de y renfermant une constante arbitraire-^

sera l'intégrale générale de la proposée.

Il reste donc à intégrer Téquation

dx"

On peut ramener cette équation à une autre de la forme de l'équation (i), en changeant la variable indépendante x^ et posant x^ = hz^k et p étant des constantes indéterminées. On trouve ainsi

p^ ^d^u p(p — i) ^ ^du Â^ dz^ A dz

Les deux terpies extrêmes ne renfermeront plus x si Ton

pose 2p — 2 = 7», d'où p=: — h I j ct qu'on divise par

X". Si Ton divise, en outre, par ~> et qu'on exprime x

en ^ 9 on obtiendra

d^u m I du AA^

d^ m-^1 z flz

et si , pour simplifier cette équation , on détermine k par la condition

A>t>=(--hiV, d'où k=z^—^,