Soit encore -^ ;/- +/ -+■ «J^'* = o , w étant entier
et positif.
On obtient , par la diflerenliation ,
d^r dy
x-r-: -f- 2 -r- -H max^-^ = o, ax' dx
n étant plus grand que i .
Si Fon fait j: = o, j^ et tous les coefficients diflerenliels
deviennent nuls si l'on suppose qu'ils ne soient pas infinis,
r C?*" r 1 1 1 , . m (m — 1 ) . . . 2 . i . /i c^xcepte -r-^ donl la valeur devient ^ ^
^ dx^ m ■+- I
ftx"* on trouve donc j^ = —
SECONDE PARTIE. ^t.'J
Cette intégrale n'a pas de constante arbitraire et n'est pas, par conséquent, Tintégrale générale. Celle-ci n^est donc pas développable suivant les puissances entières et positives de a:. Et, en effet, si Ton intègre par les méthodes que nous ferons connaître tout à Tlieure , on trouvera , pour l'intégrale générale ,
___ C aaf'
La solution que nous avons trouvée est donc une intégrale particulière, correspondante à c = o.
Il est facile de voir qu'il n'y a pas d'intégrale singulière.
Des facteurs propres à rendre immédiatement intégrable le premier membre de l'équation. Intégration de réquation linéaire.
18. Si le premier membre de l'équation Qdj+T?dx=o était la différentielle d'une fonction de x et j^, il serait nécessaire et suffisant que cette fonction fût égale à une constante pour que l'équation proposée fût satisfaite. La condition pour que cette circonstaiice ait lieu est,
comme nous 1 avons vu, -r^ = — — oi elle n a pas lieu,
ax dy *• '
et qu'en multipliant le premier membre de l'équation par une fonction V, il devienne la différentielle d'une fonction M, cette équation sera équivalente à -du = o^ et
sera satisfaite , soit en faisant rfu = o , d'où î^ = c , ce qui serai l'intégrale générale , c étant la constante arbitraire ;
soit en posant - = o , ce qui donnera une solution sîngu-*
Hère, si elle ne rentre pas dans la précédente. Ainsi , par exemple , l'équation
28 COUBS u'aNALVSK.
peut se mettre sous la forme
et l'on y satisfait en posant, soit F (x) = o, soit ^ (jy) = o, soit enfin
et le premier membre est une différentielle exacte , puisque les variables sont séparées.
19. On peut démontrer qu'il existe toujours un facteur qui rend Qdy + Vdx différentielle exacte. En effet, il est démontré que F équation proposée a une intégrale renfermant une constante arbitraire c, et que nous représenterons par F(a:, y^ c) = o 5 et Téquation différentielle a été obtenue nécessairement en éliminant c entre cette dernière et celle que Ton a obtenue en la différentiant, après l'avoir transformée préalablement d'une manière quelconque si on l'a jugé convenable. Or, quelque forme qu'on lui ait donnée, nous avons démontré précédemment, qu'après l'élimination de c, l'équation à laquelle on sera parvenu donnera identiquement en x el y la
même valeur pour —*
Cela posé, concevons l'équation F (x,^, c) = o mise sous la forme (p (a:, y) = c , d'où -j- dx + -j- dy z=z o\ la
valeur de -7- tirée de cette équation , et celle que donne
l'équation proposée devait être égales , quels que soient X ely (pP 62), on aura identiquement
dx ^ P df
SECONDE PikBTlE. 2g
Ajoutant de part et d'autre y et multipliant par —-5 on aura cette nouvelleîdentité, quels que soient x^y^dx^ dy^
dx dy dx \dx Q/ dy
Le premier membre étant la dérivée totale d'une fonction f de X et y^ il en est de même du second 5 et, par conséquent, en multipliant la proposée par ^'^5 son premier membre devient une différentielle exacte. On voit, de plus , comment le facteur t^ = - -~ est lié au premier
membre de l'intégrale mise sous la forme f = c.
20. L'existence du facteur v étant démontrée, il faut chercher comment il est possiUe de le découvrir.
n est facile de former l'équation qui doit le déterminer, car on doit avoir l'identité
.<^ .''P .^^^ ^d¥ (d^ dQ\
d—=zd — 9 ou Q P — = pi -]'
dx dy dx dy \dy dx J
Si 1^ renferme à la fois x et j^, cette équation est aux difierentielles partielles, et plus difficile à intégrer que la proposée. Il faut donc renoncer, en général, à la détermination de ce facteur.
Mais si f^ ne doit renfermer qu'une variable, x par exemple , il est facile d'en déterminer la valeur. En eiSet,
— étant nul , l'équation précédente devient
dx Kdy dx f
OU
V dx Q \dy dx / '
3o GOUES u'aNALTSE.
îl est donc nécessaire que les cofficients donnes P et Q
soient tels que Texpression -(-j ^j soit indépendante dej^.
Lorsque cette condition sera remplie, on aura, en désignant par ç (x) l'expression précédente,
I dp d'où
log
le coefficient c étant arbitraire , et disparaissant d'ailleurs de lui-même.
. En intégrant, par les procédés relatifs aux différentielles des fonctions de deux variables indépendantes ^ on trouve .
La discussion serait la même pour les facteurs indépendants de J!r.
2i« Le calcul précédent deviendrait plus simple s'il s'agissait de l'équation djr 4- P^ = o. U fieiudrait alors
que -j- fût indépendant de y\ ce qui donnerait
P = xr 4- X,,
X et Xi désignant des fonctions quelconques de x. L'équation doit donc être de la formie
dy -^ (Hf 'hlLi)dx z=z o.
En multipliant par le facteur p», qui devient e , on a ^f^dy + Hye^^dx + n/^^ dx = o;
SKCONUK PARTIK. 3l
doù
C désignant une constante arbitraire. On tire de là
Telle est l'intégrale générale de Véquation linéaire du premier ordre. La constante arbitraire provenant dej%da: disparait d'elle-même , et la constante C est la seule qui entre dans la valeur de j-.
Considérons , comme application très-simple ^ la question suivante qui a été proposée aux géomètres par M. de Beaune, ami de Descartes :
Trouver une courbe telle que la sous-tangente soit à l'ordonnée comme une ligné constante est à l'ordonnée de cette courbe, diminuée de celle d'une droite inclinée d'un demi-angle droit sur l'axe des x.
En prenant l'origine au point de rencontre de cette droite et de l'axe des x, elle aura pour équation x = j", et la condition donnée sera représentée par l'équation
djr 7 — J? ^ dx
dx a dx
j ou a— y :=. — X
a étant la valeur donnée de la ligne constante.
Cette équation linéaire, intégrée par tm quelconque des procédés que nous avon» indiqués , donne
X = x -h a Ce'^r
C étant une constante arbitraire.
Si maintenant on prend pour axe des x^ la droite dont l'^uation esly = x + a^ et que l'on conserve la même direction pour l'axe des y', on aura
y'iszÇjT^ ^=:— , et par suite j' = Cé?«V2.
La courbe est donc une logarithmique dont les ordonnées font avec Taxe un angle égal à un demi-angle droit.
22. Nous avons prouvé qu'il existe dans tous les cas un facteur propre à rendre le premier membre intégrable. Voyons s'il n*en existe qu'un seul.
Soit ^^ une première fonction telle que ^(Qdy + Prir) soit la différentielle d'une fonction u de a: et ^^ il est d'abord évident que le facteur ^(u) rendra encore le premier membre intégrable : car, puisque ^(Qdy + T?dx) = du^ on aura i^(f (u) (Qdj' + ^dx) = ç(tt) du^ ce qui est la différentielle de /y (m) ^/m.
Soit maintenant V une autre fonction quelconque telle que V(Q^ H- Pdx) = rfU, U désignant une fonction de X ely. On en déduit l'identité
-du=z d\].
Or, le second membre étant une différentielle exacte , le premier qui lui est identique en a: et j devrait aussi en
être une; ce qui ne saurait être si - n'était pas une fonction de la fonction u seulement. Ce dernier point, qu'on admet assez ordinairement comme évident , a cependant besoin d'être plus rigoureusement établi .
U s'agitde prouver généralement que si l'on a u^=if(x^y) ,
l'expression F (jc, j) cîu , ou F (x, j) j -^ éir + ^ fl^r h^^
peut être une différentielle exacte relativement aux deux variables x ety, si l'on n'a pas
quelle que soit d'ailleurs la fonction ^.
En effet, éliminonsj^ au moyen de l'équation u=f(x^j)\ F(jr,j^) deviendra une fonction de m et a:, y (m, x). L'expression qui était une différentielle exacte relativement
SECONDK PARTIR. 33
k X et j Je sera relativement k x et w^ (f(u^ x) du sera donc une différentielle exacte d une fonction des deux variables indépendantes xelw^ ce qui serait absurde si x restait dans cette expression qui ne renferme pas dx. Il faut donc que (f(u^x) ne renferme que m, et, par conséquent, que F(x,y) soit une fonction de u ou def(x^ yY
Ainsi, en revenant à notre question particulière, si un facteur u donne au premier membre la forme de la différentielle d'une fonction u de x^ y, les facteurs qui jouissent exclusivement de la même propriété seront de la forme i^(m), (f désignant une fonction arbitraire.
L'équation proposée devient ainsi
du = Of ou y (à) du z=z Oy
d'où l'oa déduit également m = c , c désignant une constante arbitraire.
Tous ces facteurs conduisent donc au même résultat, et ils ne diffèrent entre eux que par le facteur ©(m) qui est bien une fonction de x^ y^ mais qui se réduit à une constante arbitraire en vertu de Tîntégrale u = c. On voit que , si Ton connaissait deux facteurs différents qui rendissent le premier membre de Féquation intégrable , en égalant leur rapport à une constante arbitraire, on obtiendrait l'intégrale générale.
Intégration des équations homogènes, et de i équation linéaire, par la séparation des variables,
23. On parvient quelquefois, par un changement de variables, à ramener aux quadratures l'intégration de l'équation donnée , c'est-à-dire à séparer les nouvelles variables dans l'équation transformée.
Considérons d'abord une équation homogène quelconque
2* édit. ,:?
34 COUKS D^ANALTSf..
c'est-à-dire telle que M et N soient des fonctions homogènes du même ordre m de x^ y. On sait c[U*une fonction homogène de Tordre m des variables x^y^ z^.,^ est celle qui se trouve multipliée par le facteur g^ quand on change respectivement les variables en gx', gy^ ^2 , etc.
Posons j^ = uXy d'où dy =t udx H- xdu.
Les fonctions M et N setx)nt égales à x^ multiplié par des fonctions de 1/5 et Téquation divisée par x^ prend la
forme
F (a) dlr 4- /(h) [uda: -f- xdu) = o ,
ou ou
[F(tt) -h uf{u)\ dx H- xf{u) du = o,
dx f[u) du
T "*" F [u) -H uj\u) — ^'
et les variables sont séparées.
Le premier membre est devenu une différentielle exacte, en le divisant d'abord par x^, puis par
x[¥{u)-^uf[u)], ou œ^i^^i+rfi^^i^
Donc , en somme , il a été divisé par IMr -f- N)^.
Ainsi) le facteur propre à rendre le premier membre
immédiatement inté£;rable est --^ — -— • Si M.dx + ^dY
était une différentielle exacte , —- et i seraient deux
facteurs qui rendraient le premier membre intégrable; leur rapport serait donc égal à une constante, et l'intégrale générale serait, par conséquent, Mr 4- ^y = c.
