VÂ
on aura à intégrer l'équation suivante :
d^u \m H- 2/ du az' z dz
qui rentre dans l'équation (i) en y changeant m et n en
et — I ^ ce qui donne lieu aux conséquences sui-
vantes :
i^. Si est un nombre pair positif ou négatif, les
deux valeurs de u pourront s'exprimer par un nombre
fini de termes en z , et , par suite , en x.
Soit donc
z=:2Z2ij
/étant un nombre entier positif j on en tire
les signes supérieurs se correspondant, ainsi que les inférieurs. Cette expression se réduit à la forme suivante :
2î ru I
Ainsi Téquation de Riccati pourra s'intégrer complètement lorsque m sera renfermé dans cette formule.
2®. Si est compris entre o et 2, la valeur générale
de u pourra s'exprimer au moyen de la formule (3). On voit d'abord que si m est positif, est nécessairement compris entre o et 2 , et l'équation de Riccati s'intégrera par le moyen de deux intégrales définies simples.
Si m est négatif, soit m = — m\ on aura
m' ^ ni' ^
la première exige w' > 2 , et la seconde , m >> 4 • Donc on intégrera encore de la même manière l'équation de Riccati lorsque m sera compris entre — 4 et — 00 . Ce
i34 COURS d'analtsb.
n'est donc que pour les valeurs de m comprises entre o et — 4? quG l'intégrale cherchée ne pourra s'exprimer au moyen de deux intégrales définies simples.
La formule (3) devient, en y changeant m en et
m m « en — I
—a cos (z V — I cos w) sin wé/w
-f- B,z'""^^ I cos(zv^ — I cosb>) sin «</«.
2sfA --+-'
Remplaçant z par sa valeur x^ , et posant
rn
= fjt , il vient
cosl fU7^ v^ — I cosw I sin '""^^ w^/w
B'jr / cosl j
-h B'x 1 cos l itx^ sj — I cos &> ) sin """^^ Ww.
Si Ton fait disparaître les imaginaires , cette formule devient
Sin *)«&>
J^xr /m w \
B et B' étant deux constantes arbitraires \ et le rapport -7 sera la seule constante que renfermera l'intégrale de
l'équation de Riccati.
Si m est outre les limites o et — 4 > tine seule des deux
SECONDE PAETIE. l3St
intégrales définies subsiste , et l'intégrale générale sera donnée au moyen de la formule (2). Soit Ui la valeur particulière de u , on trouvera
dui
dx I
C étant une constante arbitraire. Cette expression est moins simple que la précédente , maïs c'est précisément dans ce même intervalle , entre o et — 4 5 ^I^^^ se trouvent
comprises les valeurs renfermées dans la formule . . t
et pour lesquelles on peut intégrer exactement. Si m avait
pour valeur la première limite o , Téquation à intégrer
serait
dUi
qui donne
a = Ce* -h C,^-'.
Si m a pour valeur la seconde limite — 4 9 on a à considérer l'équation
d'^u 2 du
dz^ ' z dz '
qui a déjà été traitée , et qui , en posant u = -^ se réduit à
dz' '
d'où Ton tire
ç — Ce'-^ C, e-%
et , par suite ,
Ce* H- C, e-'
ii. — •
4". Entre les limites o et — 4? '^ y a une valeur qui
i36 couHS s'analyse.
rend les deux intégrales illusoires : c'est m= — 2. Dans
ce cas , l'équation primitive en u devient ^-5- = -^ 5
elle rentre dans une classe d'équations que nous avons donné le moyen d'intégrer. Son intégrale générale sera u = Cor*' ■+• Ci^:*'', k' et k" étant les racines de l'équation k* — k — A = o.
