Soit encore l'équation non linéaire

posons de même

I du

au dx

et l'équation proposée deviendra

dx" Soit

= abueP',

nsfâb

^SP'—r-

il en résultera

d^u i du

dz^ z dz '

ce qui n'est qu'un cas particulier de l'équation (i). On aura donc

M r= C I COs{z\ — I COSu>)d(ù

-h Ci 1 cos ( z ^ — I cos ft) ) 1. (z sin'b)) rf», ou

^^zcosoi ^^ — z C08 ») 1 . (z sin'w) r/w*

Il ne reste plus qu'à substituer à ^ sa valeur enXj et j- se déduira de u, comme dans le cas de l'équation de Riccati. 98. Considérons encore l'équation suivante, qui se rencontre dans les applications physiques ,

posons jr = x"'*'*-^, il viendra

d^z 2 (/i -H i)€lz dx* X dx

qui rentre dans l'équation (i), en y changeant m en 2(71+ 1) et n enp*.

Si Ton suppose n positif, et quelconque d*ailleurs, 2(/i + i) n'étant pas compris entre o et a , on ne pourra exprimer qu'une intégrale particulière au moyen d'une intégrale définie. Son expression sera

= A i cos {px cos w) sin ^'^^wdw,

et l'on pourra, comme on l'a déjà vu, en déduire l'intégrale complète. La valeur de y^ qui s'en déduit , est

cos (px cos w) sin''*"*"'ûiM/a) .

Dans le cas particulier où n = i , l'équation proposée devient

et l'on aura

cos( px coso)) sin^wrfw ;

et , effectuant l'intégration ,

l38 COURS D^AlfALTSIS*

6 étant une constante arbitraire. Enla considérant comme fonction de x^ on déterminera facilement l'intégrale complète.

Détermination des intégrales définies par l'intégration

d'équations différentielles,

99. La recherche d'une intégrale définie peut quelquefois être ramenée à l'intégration d'une équation différentielle, relative à l'une des constantes qui entrent sous le signe /.

Les dérivées de cette intégrale par rapport à ces constantes seront des intégrales prises entre les mêmes limites , et si Ton peut par ces différentialions reproduire la première intégrale , en l'éliminant on aura une équation entre ses dérivées par rapport à une des constantes. Si Ton peut l'intégrer, on aura une expression qui renfermera l'intégrale définie comme cas particulier, et il ne s'agira plus que de déterminer les constantes arbitraires de manière qu'elle se réduise à celte intégrale elle-même.

100, Soit, par exemple, l'intégrale définie

cos(j:cosw)<7w.

Considérons-la comme une fonction de x^ et posons

C0s(â:C08ca)flf&).

Dilférentiant deux fois par rapport à jc, il vient

d dx

sin (jc CCS o>>) ces tfidwf ~ =. — I ros [x ces tA ces' w^w .

SECONDE PAETIE. I 3q

Pour rendre ces expressions plus facilement comparables , il faut introduire cos(ar cos w) au lieu de sin(a: cos w) dans la seconde; et c'est ce que l'on fera en intégrant par parties. On aura ainsi

— sin Gi sin (x cos w) — xjsm^to cos(x cosg)) ^.

Le premier terme disparait, aux limites o et ti, et il vient

~r^^^ — ^1 cos (j^ cos w) sin'wrfw.

Divisant par x et ajoutant à la troisième équation , on obtient

d dx

f- 1 7- = — 1 cos [x cos w) «W.

'x"^ xdx J^ ^ '

L'intégrale cherchée étant ainsi reproduite, il suffira de la remplacer par j^ pour avoir l'équation différentielle cherchée , qui sera

^ ^ dx^ X dx

cos(x cosw) Jco a été ramenée à l'intégration de l'équation (2), que nous avons traitée dans le n° 87. Mais , comme nous n'en avons développé qu'une intégrale particulière , on ne peut savoir si c'est elle qui doit donner la valeur de l'intégrale définie. On voit donc qu'il est, en général, nécessaire de connaître l'intégrale complète de l'équation différentielle à laquelle on est conduit, pour pouvoir en déduire la valeur de l'intégrale définie cherchée.

Cependant, dans le cas actuel , il est facile de s'assurer que la série trouvée pour intégrale de Téqualion (2) coïn-

l4o GOUaS D^AMALYSX.

cide avec / cos(a: coso) c?a), en donnant une valeur convenable à la constante.

En effet, développant cos(a:cosGi)) en série, on a

cos(a:cosw)=i 1 ô^---H f-....

Multiplions par c?w, et intégrons entre o et tt, en observant que

Jr^ ,« . 1 .3.5. . .fi/îf — i) COS""ftw/w= yr-^ in, 2.4.o...2;n

il viendra

I COS(J7COSû>)aw=r7r I I 1 1 \.

cos(a: cos&))rfa) n'est autre

chose que l'intégrale particulière que nous avions trouvée pour l'équation (2) , et dans laquelle on suppose la constante arbitraire égale à tt.