Considérons, en dernier lieu , l'intégrale

ces axdx ï -f-x* ' et posons

ces àxdx

Nous ne prenons pas de suite la limite ôo , pour éviter une difficulté dont nous parlerons tout à l'heure. Différentiant deux fois par rapport à a , il vient

d^X r x^cosaxdx /*' sin al

et si l'on faisait Z = oo , on voit que le second membre se présenterait sous une forme indéterminée.

Il faut maintenant intégrer Téquation linéaire

d^r sin al

Si l'on néglige d'abord le dernier terme, on trouvera pour intégrale j = Ae'' + Be~^ 5 considérant ensuite A et B comme des fonctions de a, on trouvera , pour l'intégrale générale de l'équation en question ,

C et Cl étant des constantes arbitraires.

H faut maintenant supposer que l croisse indéfiniment , et chercher la limite du second membre.

Or, quand / est extrêmement grand, sin a/ passe par toutes les valeurs de — i à + i pour un accroissement extrêmement petit de a, pour lequel on peut regarder les autres facteurs comme constants. Les éléments des intégrales se détruisent donc dans cet intervalle, et il en est de

SXCONDE PARTIE. 1 43

même depuis une valeur finie quelconque de a jusqu'à Tinfini. U suffit donc de considérer les éléments de ces intégrales entre o et une valeur infiniment petite de a. Mais alors e"* et e""** peuvent être remplacés par l'unité dans les

intégrales qui se réduisent à -» et les deux derniers termes rentrent dans les premiers.

Ainsi la limite de 1 intégrale I r,ou |

étant désignée par j^, on a

Il ne reste plus qu'à déterminer les constantes C , Cj . Or, si a est positif, G?* croîtra indéfiniment avec a, ce

Xoo CCS axdx I T

devient égale à - pour a = o\ donc C^ = - et j

cos axdx TT

TT

Si a était négatif, on aurait Ci = o et C== -? et, par suite,

cos axdx TT - = -<?•.

104. Si l'on différentîe les deux membres de cette équation par rapport à « , on aura

X sin axdx — tt

a étant négatif. Si l'on différentie l'équation qui se rapporte au cas de a positif, on aura

arsin^.r , tt

dx = - e-'.

l44 COURS D*A1fALTSB.

Détermination des séries par V intégration d'équations

différentielles.

105. Nous avons vu comment Tintégrale d'une équation diflKrentielle pouvait être développée en série ^ mais on peut réciproquement se proposer de trouver l'équation différentielle dont une série donnée serait l'intégrale. Si cette équation peut être intégrée complètement sous forme finie, on saura déterminer la fonction dont on avait le développement. Pour obtenir cette équation, on dififérentie une ou plusieurs fois la série , ou d'autres séries qu'on en déduit, de manière à reproduire celle que l'on cherche , qu'on peut alors éliminer. Si elle ne se reproduit pas, mais qu'on parvienne à une série qu'on sache sommer, on peut encore obtenir l'équation cherchée.