Soit, par exemple, la série
on trouvera , en différentiant deux fois ,
dx^ 1.2 1.2.3.4
cette série étant, au signe près, celle que l'on cherche, on peut l'éliminer, et l'on obtient l'équation différentielle
Par la théorie des équations linéaires , on trouvera
/ = A cosa: -h B sinx,
A et B étant des constantes à déterminer.
Pour cela on observera que la série conserve la même
valeur quand on change le signe de a:; donc B = o. De plus, elle se réduit à i pour x = o\ donc A = i , et la série est égale à cos x^ comme on le savait d'aille.urs. 107. Soit encore la série
•4/ «Jv %M^ «4# «4#
on en déduit
dr X x^ x^ X*
3^ = — iH h5--- 7- -+-... = — I -h 1.(1 -h J?);
dr 1234 \ /'
dans ce cas , on est arrivé à une série qui n'est pas identique avec la proposée, mais que Ton a pu sommer. Il faut maintenant intégrer Téquatiou
-^ =— I 4- 1.(1 H- j:), ou / = — a?-4-/</a:l.(i -f-jt),
qui donne
7 = — 2jr -h (i -I- ir)l. (i -h or).
La constante C doit être égale à i , puisque la série se réduit à I pour x = 0] donc
On aurait pu différentier une fois de plus , et Ton aurait eu
dx^ ' ' * I H-x'
il aurait fallu alors intégrer Féquatioii
dy 1
dx"^ i -{- X
d'où
' dy
Pour déterminer C, on observera que Ton a —■ =— * r
2*^ éd*t. 10
l46 COURS u'ahalyse.
pour .r = o -, donc C = — i , et
On aurait continué comme dans le premier calcul. 108. Considérons , en dernier lieu , la série
elle donne d'abord
dx 2 ^^ 2\4 2'.4'-6
Pour faire disparaître le dernier facteur de chaque dénominateur, multiplions les deux membres par x^ puis diflTérentions-les , il viendra
d^Y dr x^ x^ jr'
dx' dx 2' 2'. 4' 2^4^6
— XI ^- -h
On a reproduit ainsi la série proposée, et, en Télimi nant, on obtient
dx ' tix
OU
d^y I djr
dx^ X dx
Et, en effet, nous avons reconnu précédemment que cette équation différentielle a pour intégrale particulière la série proposée ^ mais nous ferons observer ici , comme nous l'avons fait pour la détermination des intégrales définies, quMl est, en général, nécessaire de connaître l'intégrale complète de l'équation différentielle à laquelle on parvient.
SECONDE PARTIE. l4)
Application des équations diJjféfentieUes à la recherche de fonctions dont on connaît certaines pix>priët€S caractéristiques.
109. Soit proposé de trouver une fonction z = (f (a:)^ telle que l'on ait, pour toute valeur dex ety^
(i) (p(^)-i-'(i>(r) = <pGr+7).
Si Ton différentie cette équation par rapport à x^ en con-^ sidérant j^ comme constant , on a
d*où Ton conclut que «y' (x) est constant, quel que soit x, et que^ par conséquent, on a
di = "'
a désignant une constante. On en déduit
(2) ^ z == «.r -I- by
h étant uiie nouvelle constante.
La fonction (p , qui satisfait à Téquation (i), est donc nécessairement comprise dans celles que représente la formule (2). Mais la réciproque n'est pas sure, et il faut tâcher de déterminer les constantes a et J de manièt'e que la substitution de la valeur trouvée de z rende l'équation (i) identique. On trouve pour résultat de cette substitution
ax
ce qui exige que Ton ait & = o , d'où résulte z = ax, La solution la plus générale de la question est donc
t48 COURS u'analtsc
donnée par la formule
<f (x) = axy
a étant une constante arbitraire.
110. Cherchons maintenant la fonction déterminée par la condition générale
DifTérentiant par rapport à x^ il vient
(p'(ar)=/(p'(x>-).
DifTérentiant la même équation (i) par rapport à j>^> on obtient
De ces deux dernières on tire
donc le produit x(f' {x) est constant, et si Ton pose ^ (^x) = z , on aura , en désignant par a une constante ,
a: 3" = a , d ou 1 on tire dx
adx
dz-=i 5 Z = fl I. J7 4- ^,
h étant une nouvelle constante. Substituant dans l'équation (i), on trouve
(a) a\.X'\-h'\-a\,y-^h:=za\.xy-{'h\
donc
h •=z o et z •==. a\^ Xy
a étant arbitraire.
Ainsi , la solution la plus générale de la question est donnée par la formule
y [x) = log X, la base du système de logarithmes éUnt arbitraire.
SECONDE PARTIE. ï49
m . Proposons-nous maintenant de trouver la fonction (f (x) d'après la condition
(l) ^(x)ff(x)z=:<f{x-hjr).
En différentiant cette équation par rapport k x et j^, on obtient les deux suivantes :
d'où Ton conclut
a étant une constante. Si donc on pose (f(x) = z^on aura
I dz
d'où
z dx
dz ^ . z .
b étant constant. Substituant dans l'équation (i), on obtient
(2) he"^ . be^'y = ^<?«(*-»'/>,
ce qui exige que Ton ait &* = &, et, par suite, 6=1, ci^r on ne saurait prendre & == o. La fonction cherchée a donc pour expression
a étant arbitraire.
Si la constante a est imaginaire, et de la forme
m±Ln \l — 1 , on aura
(p \jc) = 6?"" (ces nx rb v/ — i sin «or) .
