Soit encore proposée la condition

i5o coDfts p'akalysk.

DiSéremiaat cette équation par rapport à j; et j^, ou obtient

Ces deux équations donnent doù

a étant une constante. On a donc , en faisant (f (.r) = z ,

Z flf^

on en déduit

rfz dx z

b étant une constante. Qn aura donc

z z= bx'.

Substituant dans l'équation (i), il vient (2) bx^.by'' = bx^f*;

donc & :==: I , Ql la fonction cherchée a pour expression.

a étant une constante arbitraire.

Si Ton suppose a = m±n V — i , la fonction prend la forme

«p(a?) = x'^(cos.n 1. xdby/ — l rin.« 1. x),

H3. JNous donnerons pour dernier exemple de ce genre de questions celle qui se rapporte à la détermination de la résultante de deux forces égales, faisant f^ntrc elles un angle quelconque.

SECONDK PA&TIK. l5l

On est conduit clans cette recherche par des considérations fort simples , que nous n^indiquerons pas ici , à l'équation suivante :

X désigne le demi-angle des deux forces , et <f(x) le rapport

de la résultante à l'une d'elles. Or, si l'angle des forces est

nul , la résultante est égale à leur somme ] et s*îl est égal

à deux angles droits, elle est nulle : on devra donc avoir

les conditions particulières suivantes, en désignant (f(x)

par z :

lz=:2. pour .r = o,

êz =:z O pour X = -•)

et, de plus, z ne peut devenir nul pour aucune valeur de x

comprise entre o et -• On observera d'ailleurs que la ques-

tion de statique n'impose aucune condition à la fonction ,

pour des valeurs de x non comprises entre o et - > et pour

des valeur» de jr plus grandes que x. On peut reconnaître facilement que la première des équations (2) est une conséquence immédiate de l'équation (1)', car, si l'on y fait y z= o^ on trouve

d où résulte (p (o) = 2.

Cela posé, en diilérentiant deux fois 1 équation (1) par rapport ka*^ et denx foi» par rapport à j^ ou obtienl

j" {x + r) + f is-x] = ?" (^) T (/), ?" (-p +x) + ?" (* -y) = T W ?" (.••■);'

d'où l'on conclut

i52 COI] as u\nalyse.

a étant une constante réelle, puisque <^{x) et y*'(x) le

sont.

Cette équation devient, en remplaçant f (x) par z,

(3) îy. - "* = "•

L'intégrale de cette équation aura une forme différente, suivant que l'on aura a>o, a=:o, a<o.

I**. Soit d'abord a = o, il en résulte

3 r= Cj? + C, ,

et, substituant dans Téquation (i), on devrait avoir, pour Vine infinité de valeurs de x et y,

les termes semblables devraient donc être égaux de part et d^autre, d'où résulterait C = o, et <j)(j:) serait égal à une coQstante, ce qui est impossible ^ donc on ne peut avoir a = o..

2*^. Soit a>o, l'intégrale générale de l'équation (3) sera

substituant dans Téquation (i), et posant

ce qui n'établit aucune liaison entre li et (^, on trouve

C(C— i)i^-l-C,(C. — i)tt-'==C(i — C,)«'4-C,{i —C)p-'.

Les coefficients des termes dissemblables devant être nuls séparément, on aura

C = o, Cl =rr o,

SECONDE PARTIE. l53

Or on ne peut avoir à la fois C = o , Ci = o , sans quoi l'on aurait ^ = o, quel que fût jr, ce qui est absurde. Donc on ne peut prendre que les valeurs suivantes :

C= I, C, = I, d'où il suivrait

expression qui ne deviendrait pas nulle pour jc=5-> et

qui, par conséquent, ne satisfait pas à la question. Donc on ne peut avoir a > o.

3^. Supposons enfin a < o et posons a= — m* ^ l'intégrale complète de Féquation (3) sera

z = C ces mx -f- C| sm mjc,

et puisque Ton doit avoir z = a pour x =. o, il en résulte C == 2 , et la valeur de z sera

z = 2COSA72X -I- Cl sinwo:;

en la substituant dans Féquation (i), et réduisant, on trouve

C] sin/n^r sin my 4- 2C1 sin mjr cosmx z= o,

et comme on ne saurait avoir m = o, on peut supprimer le facteur sinmy, et il reste

C] ûnmx 4- aC, cosmx = o,

équation qui ne peut être satisfaite quel que soit x^ qu'en posant Cl = o, d'où résulte

z = 2 cos//?.r.

La constante m se déterminera au moyen de la seconde

l54 COUaS D'ANAf.YSK.

équation (2), qui donnera

mit cos — = o,

d'où m = 2/1 -f- I , w étant un nombre entier quelconque. Mais si Ton n'avait pas 71 = 0, cosmx deviendrait nul,

pour la valeur x == —7 : , oui est moindre que -; ce

qui ne saurait être, puisque la fonction z ne peut devenir nulle pour aucune valeur de x entre o et -• Donc enfin

z =:i 2 cos^,

et la valeur de la fonction cherchée est

f (jr) = 2 cos jc.

diguï^ssion SUR quelques propriétés, ou us\(>es des

INTÉGRALES DÉFIIVIBS.

Intégrales eulériennes.

114. Legendre a désigné de cette manière deux espèces d'intégrales définies , étudiées avec beaucoup de soin , d'abord par Euler, et ensuite par Legendre lui-même : nous nous bornerons a en faire connaître les principales propriétés. Celles de la première espèce sont comprises dans la formule

c<'lles de la seconde sont de la forme