Démontrons maintenant une des principales pro
l56 COURS U^NALYSK.
priétés des fonctions de seconde espèce, dont Tëtude doit être faite en même temps que celle des premières. Considérons Tintégrale
j;'(..iy^=r(« -..)•.
l'intégration par parties donne et, prenant les limites o et i,
ce qui donne la relation suivante :
Au moyen de cette relation, il suffira de connaître la fonction T(a) pour toutes les valeurs de a comprises entre o et I , pour en déduire celles qui se rapportent aux valeurs de a comprises entre i et 2 . De celles-ci on passera aux valeurs de a, comprises entre 2 et 3, et ainsi de suite indéfiniment.
La construction d'une Table qui donnerait toutes les valeurs possibles de la fonction F se réduit donc à la considération des valeurs de a comprises entre o et i .
Nous allons voir qu'il suffit même de connaître les valeurs de T(a) dans l'intervalle dea = oàa = —
Diaprés ce qui a été dit précédemment, on a l'équation
h étant positif. Multiplions les deux membres par x*^^^dxy a étant positif et plus petit que ft, et intégrons-les par rap-
SECONDE PARTIE^ l57
port à X entre o et Tinfini , nous aurons
intégrons d'abord par rapport à jr, et observons que
le premier membre de l'équation deviendra
r («) I «*-«-^ e-»^ , ou r {a) T{b — a), ce qui donne Téquation
rwr(*-«) = rwj;^
d'où
(T^+^~ fW
On voit donc comment les intégrales de la forme
I ^ n» dans lesquelles on a a<;; i, dépendent de
celles que nous avons désignées par F.
Considérons le cas particulier de i = i , et rappelons-
nous que r(i) = i , et I == -; > 1 équation
^ ^ ^ ^ J^ i -\-x sinaTt ^
précédente deviendra ^
svaait
Si donc on connaissait les valeurs de F (a) depuis a=o jusqu'à a = -j cette équation donnant T(i — a), d'après F (a) , ferait connaître les valeurs de la fonction depuis
li>8 COURS w'analysb.
û = - jusqu'à a = I . Il serait très-facile ensuite , comme
nous Tavons fait voir, de déterminer ses valeurs depuis
a = i jusqu'à a = oo.
On peut remarquer que si dans l'équation précédente
I * on fait a = - 9 on obtient
(riy=7r; d'où r^=V^;
ainsi
/ x~ i e'~'cLv = yw.
Posant X =J*') il vient
2 f tf-V'c^rry/ir, ou / <?-/*d[y=;^,
comme nous Tavions trouvé déjà par d'autres procédés.
117. Les intégrales de première espèce peuvent se ramener à celles de seconde ^ ce qui est avantageux en ce que celles-ci ne dépendent que d'une seule variable a , tandis que les autres dépendent de deux variables pet^.
L'intégrale / ^p-**(i — x^'^^dx devient, en posant
dont la valeur est , d'après une formule du numéro précédent ,
on a donc l'équation suivante :
y^^'dy
SBCOMOE PAKTIE. iSo
OU
formule très-simple qui servira à exprimer les fonctions de première espèce ^ au moyen des fonctiops F.
