Si l'on multiplie membre à membre les deux équations

iP-^^^'-)- r{p + q^ry

il vient

et comme le second membre ne change pas, quand on change Tune dans Tautre deux quelconques des lettres p, qy r, il en sera de même du premier membre , et l'on aura

(Pf q) (P H- <7» '') =^ {Py '•) (P "^ ^f 9) =.(0 9) [9 4- r, p), ce qui est une des propriété4 fondamentales des fonctions

149. Supposons maintenant que les deux nombres p et 4f soient égaux dans la fonction (p, ^); on aura alor»

(«,«)= I «•^' (i — jï)»-'éfcr :

posons xz=2'j{i +j)^ il viendra

dz

faisons ensuite/' = jï, d'où dy = -^, ou obtiendra

l6o COURS d' ANALYSE.

OU, en remplaçant les fonctions (p^ g) par leurs valeurs au moyen des fonctions F,

EMIW^ r(i)r(^)

d'où l'on tire, en observant que T (^) =^ 7r%

ce qui constitue une nouvelle propriété générale des fonctions r.

Nous bornerons la ce que nous avions à dire des intégrales eulériennes , et nous renverrons pour plus de d,^tails aux Exercices de Calcul intégral de Legendre.

Expression des fonctions d'une seule variable, par des

intégrales définies doubles.

120. Fourier a fait connaître une formule d'une grande importance dans les applications de l'analyse à la physique. Elle a pour objet de représenter par une intégrale définie double une fonction de x donnée depuis x =— oo jusqu'à a: = Qo , et qui n'est assujettie d'ailleurs à aucune condition de continuité. Elle peut changer de forme d'une manière arbitraire, et représenter un lieu géométrique composé d'arcs de courbes aussi diverses que l'on voudra ; ce lieu pourra , par exemple, se confondre avec l'axe des X, depuis l'infini négatif jusqu'à l'infini positif, excepté dans une étendue limitée où il se composera d'arcs de courbes arbitraires. La seule condition à laquelle la fonction soit assujettie consiste en ce qu'elle n'ait qu'une seule valeur pour chacune des valeurs àex.

Sans entrer ici dans aucun détail sur la manière dont Fourier a découvert cette formule , nous nous bornerons d'abord à en démontrer l'exactitude.

SECONDE PARTIE. l6l

SoitF(a:) une fonction de x^ entièrement arbitraire; je dis qu'on aura identiquement

I F (a) COS/? [x — a) dpdoL.

En effet, intégrons d'aÎDord, par rapport à p^ depuis o jusqu'à une valeur très-grande p -, en doublant les résultats , nous produirons le même effet que si nous avions intégré de — p k +p. Nous aurons à intégrer, par suite,

F (a) — — doc entre — oo et +00 , puis à faire croître

p indéfiniment.

Or, si l'on considère une valeur de oc qui diffère de x d'une quantité finie , on peut supposer p assez grand pour que p{œ -^a) croisse de a^r quand a croîtra d'une quantité

aussi petite qu'on le voudra , et qui aura pour valeur — 5

dans cet întervallci — ^ ne variera pas sensiblement, et

comme l'intégrale /sinp(,r — a) Jasera nulle entre ces deux

limites, on pourra considérer aussi /F (oc) — — ^ da

comme nulle dans ce même intervalle : d'où il suit qu'on

peut se borner à considérer les valeurs de oc qui diffèrent

infiniment peu de a* , et il est évident que les conséquences

précédentes ne s'appliquent pas à ces valeurs, puisque

Y (a) — ^-^ peut varier considérablement lorsque a subit de

très-petites variations. Soit donc a = a: H- o), c») étant une quantité infiniment petite , positive ou négative, puisque oc peut être plus, grand ou plus petit que o:^ si F (a) ne varie pas brusquement à partir de la valeur x^ on pourra substituer F(a:) à F(^4-o)), et f F(oc) ^^"/^^■"«) ^a se ré-

2* édit. 1 1

]62 COURS uVnaLTSK.

duira à F(x) I — —dtù, e étant une quantité infiniment petite. Mais l'intégrale I — ^€^0) étant nulle, comme nous l'avons démontré, lorsque <ù est fini, et que Ton prend deux limites qui diffèrent de — 9 il s'ensuit que , à mesure

que Ton suppose p de plus en plus grand , 1 — — cUù

— — co OU de TT. Donc la

limite de

est tO^\x), Doublant ce résultat, on aura la limite de

F (a) ces/» (x — a) dpdv. ;

et j par conséquent*, pour toutes les valeurs de x pour lesquelles F (or) est continue, on a

Y[x)z=z — / 1 F(a)cos/7(jr — a)dpdai.

121 . Si F(jc) passait brusquement de la valeur A à la valeur B, pour une certaine valeur particulière de j?, il faudrait supposer ¥(x — co) = A, F (jc H- w) = B , et considérer les deux intégrales

A / — — fl^ûx H- B / — ^ £/w,

au lieu de l'intégrale unique

sinpoi

dùi,

SECONDE PARTIE. l63

et Ton voit que la limite, au lieu d'être nF(x)^ serait

n^ -: d'où l'on conclut que pour ces valeurs particu-

lièresde x, la formule (i) donnera pour FÇx) la demisomme des valeurs que prend cette fonction pour deux valeurs de x, Tune plus grande et l'autre plus petite qiie celle que l'on considère , d'une quantité infiniment petite. 122. Revenons avec plus de détail sur une partie importante de cette démonstration, celle où nous avons prouvé qu'il suffisait de considérer les valeurs de a , infiment voisines de x, dans l'intégrale

F w) — ^-^ ■ da.

Pour cela , concevons qu'à partir d'une valeur finie quelconque a, telle que a — x soit un multiple de -? on partage l'intervalle jusqu'à l'infini en parties ^ales à — , et considérons d'abord l'intégrale dans le premier intervalle. Soit, pour abréger, — ^ £=:ç(a). On peut partager l'i:

grale f

vantes :

inte*

a: — a (f(<x) sinpÇx — a)da datis les deux sui-