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l f (a) sin/? (x — a) doc, et j tf (a) sin p{x — àc) da,

Dans chacune d'elles le facteur trigonométrique a un signe constant, et par conséquent, si on l'intègre isolément, il faudra multiplier le résultat par une valeur de (f (a) , intermédiaire entre la plus petite et la plus grande de celles

i64 COURS d'analtsv.

qu elle prend dans le même intervalle. Or

= cos/? (a — a:) = co%p [a — x),

p Tt

i désifi;nant rinlervalle —

Pour le second intervalle , il faudrait changer a en a H > ce qui ne changerait rien au résultat de l'intégration que nous venons d^efTectuer^ et il en serait de même pour tous les intervalles suivants : ce résultat sera constamment

ces/? {a — x).

Pour la première moitié de l'intervalle i\ il sera multiplié par une moyenne entre les valeurs de y (a), dans cette moitié ^ pour la seconde , par une valeur moyenne de (f (a) dans cette seconde moitié, puis on devra retrancher ce second produit du premier. Le reste sera donc moind];;e que le

produit - cosp Ça — x) par la différence de la plus petite

et de la plus grande valeur de (p(a) dans Fintervallç i que Ton considère. Mais i tendant vers zéro à mesure que p augmente , les deux facteurs de ce produit sont infiniment petits, et le produit est un infiniment petit du second ordre. Donc l'intégrale prise depuis a jusqu'à Tinfini tend vers zéro en même temps que p augmente, quelle que soit la valeur finie de a -, ce que nous nous étions proposé de démontrer.

SKCGNOE PARTIR. i65

Expression d'une fonction périodique arbitraire en série trigonométrique, au moyen d'intégrales définies.

123. Si l'on désigne par u un arc quelconque, on sait que l'on a

- sinY/w -h -5-) '^ I + ces u -I- ces 2a -+- cosou -h ... -I- ces mu = ~ —

2SinYU

Changeons u en x — a, multiplions par une fonction arbitraire F(a), et intégrons, par rapport à a, entre deux limites quelconques ae\.b\ nous aurons

\ F(a)€/a-h / F(a)cos(ar.a)rfa-+- / F(a)cos2(a:-a)rfa-|-. . . , . a va Ja

1 F(a) CCS w(^<a) rfa = | / F(a) ;. /j^ ^a.

On voit que rien ne serait changé dans les deux membres si l'on augmentait x d'un multiple quelconque, positif ou négatif, de 27r, et que, par conséquent, ils représentent une fonction périodique , dont la période est 27t , quel que soit d'ailleurs le nombre entier m. Or, lorsqu'on fait croître ce nombre indéfiniment, le second membre tend vers une limite qu'il est facile de déterminer, et le premier membre sera Iç développement en série , de la fonction qui exprime cette limite.

On remarquera, comme dans la question précédente, que l'on peut se borner à considérer les valeurs de a infiniment voisines de celles qui rendent sîn^ {x — a) = o , vu que l'intégrale tendrait vers zéro , à mesure que m augmenterait, pour tout intervalle dans lequel sin^ (a — x) resterait une quantité finie. U faut donc se borner aux valeurs de a qui diffèrent infiniment peu des suivantes :

•a:, T ± 27r, . . . , .r rt ^.X'tt , etc.

l66 COURS d' ANALYSE.

Soit X une valeur quelconque comprise entre a et i, et supposons que h — a soit tout au plus égal à a??^ on considérera seulement les valeurs infiniment petites de a — x \ on pourra alors remplacer sin ^ (a — x) par j (« — a:) , et le second membre de l'équation (i) devient

J- « a — jr

% étant infiniment petit j ou, en faisant a — a: = w,

f F(x + «) — i L iL.^o,.

Si F (a) est continue dans le voisinage de x^ on pourra remplacer F(x 4- w) par F (or), et Ton aura seulement

*:sin(/?f -hî-)» ,

i il— dtîi\

(3) F(x)jr^

et cette intégrale n ayant de valeur sensible que pour des valeurs infiniment petites de (o, lorsque m croit indéfini» ment, on peut , sans inconvénient , étendre ses limites jusqu'à — 00 et -^ 00 , ce qui facilite Tintégration , et Ton trouve pour résultat tt. La limite du second membre étitnt 7rF(jf?), on a la formule suivante :

qui donne le développement de F(j:) suivant une série dont le terme général est de la forme

Am sin mx + Bm cos mx*

Il nous reste à faire quelques observations propres à en fixer le véritable sens.

124. Si l'on donne à x une valeur telle qu'entre a et 6 il ne tombe aucune des valeurs renfermées dans l'exprèssien X ± ^ÏŒ y k étant un nombre entier quelconque qui peut être zéro, l'intégrale (2) est nulle, et la série a pour limite zéro, pour cette valeur de x. Le lieu qui aurait pour ordonnée le second membre de l'équation (4), divisé par ir, se composerait donc d'abord du lieu de l'équation y = F(a:) entre jc = fif et jp = è, reproduit indéfiniment dans les deux sens de Taxe des x\ de telle sorte que les points correspondants seraient distants les uns des autres de 27r, et, en outre, de toutes les parties de l'axe des x comprises entre ces courbes successives.

Si l'intervalle b — a est égal à aTr, le lieu j^ = F(a:), construit entre x=-a et x = b^ se reproduit à la suite de lui-même indéfiniment, et tous les points correspondants seront distants de stt.

125. Si X est égal à une des limites de l'intégration, à a par exemple, Tintervalle b — a étant encore égal à 27r , l'intégrale (2) ne sera prise qu'entre o et H- e >, quand a sera dans le voisinage de a , ce qui donnera \ F (a). Mais , quand a sera dans le voisinage de b^ qui est égal à a + 271 , sin ^ (a — x) sera encore infiniment petit ^ et si Ton pose a = a + 27r — w, on aura

sïïi 5- (a — x)-= sin- 5

qu'on remplacera encore par — On aurait ainsi une nou-

velle intégrale qui sera égale à \ F(i) \ d'où l'on voit que , lorsqu'on donne à x une valeur égale à l'une quelconque des limites de l'intégration , la série donne la demi-somme des valeurs de F(x) relatives aux deux limites.

126. Si pour une valeur de x comprise entre a et è, F(^) n'est pas continue , et passe brusquement de la valeur m à la valeur n , il faudra dans l'intégrale (3) supposer

'^ coufts d'analyse.

F(j:) = /w emre — eeto, et F(x) = nentreo et +£, ce qui donnera pour résultat j (m + n). Ainsi , pour une valeur de x qui rend F(x) discontinue, la série donne la demi-somme des valeurs de F(^) qui correspondent à cette même valeur de x.

127. Nous avons supposé que la différence des limites a , b était tout au plus égale à ûtt. Voyons ce qui arriverait si cette différence était plus grande que 2n , et que la fonction F (a) fût donnée arbitrairement dans cette étendue : supposons, pour fixer les idées, que Ion ait b—a=2n+â^ â étant plus petit que arr. Pour toute valeur de x com* prise entre a et a -h J , sin ^ (a — x) deviendra nul pour a^ =x et pour a = 27r + o:^ on aura donc à considérer

dans l'intégrale / les valeurs de a dans le voisinage de x

et de 27: + ^j et, par conséquent, on trouvera pour valeur de cette intégrale relative à ces valeurs de j:,

de même pour toute valeur de x comprise entre b — d et £, on trouverait pour valeur de l'intégrale,

TT [F (j:) -h F (jc — 27r)].

Pour les autres valeurs de x comprises entre a et i, l'intégrale aurait simplement pour valeur F(x), On voit ce qui arriverait si i — a renfermait un nombre quelconque de fois 271, et que la fonction F (a) fût donnée dans toute cette étendue. Ce n'est donc qu'en prenant 271 pour différence des limites de l'intégration, que la série représentera la fonction elle*même F(jr:) pour toute valeur de x comprise entre ces limites. Dans tous les cas, la fonction représentée par la série aurait pour période 27r.

Si la fonction F (a) est périodique , que 271 soit l'étendue

de la période , et que b — a soit un multiple de 27r , la série représentera évidemment t:¥(x) multiplié par le nombre de fois que b — a contient 27r; en divisant donc par ce nombre, on aurait encore 7rF(j:). comme si l'on avait intégré entre a et a + 27r.

128. Si Ton suppose a = o, & = 27:, la formule (4) , donne, en divisant par tt,

(5)F(x)=:^l F(a)rfa-h-y / F(a)cosm(a: — a)r/a. Si l'on fait a = — tt, i==4-7f»on obtient

(6) F(j:) = — I F(a)r/a4'-y / F(a)cosw(a:— a) ^/a.

On peut ainsi développer en une série qui procède suivant les sinus et cosinus des multiples de a;, une portion d'une fonction quelconque F (a:) comprise entre x = o, :r = 27r, ou a: = — 71 , .r = + TT , et qui peuvent se composer ellesmêmes de plusieurs parties appartenant à des fonctions de formes tout à fait différentes. Mais cette portion se reproduit indéfiniment dans les deux sens^ de sorte que, pour les valeurs de x en dehors de ces limites, la série n'a aucun rapport avec les valeurs que prendrait F (a:), d'après la forme de cette fonction. Si , par exemple, ^=F(j:) représente une parabole, la série, à mesure que a' croîtra positivement ou négativement, reproduira périodiquement l'arc de cette parabole compris entre x -= — tt , a: r= TT , et nullement la parabole indéfinie.

129. On peut donner plus de généralité aux formules (5) et (6), en supposant que la fonction à développer est donnée dans un intervalle quelconque 2/ au lieu de 27: .

Or, si l'on fait a;' = y 9 et a = -— » les formules en

I 70 cou AS n ANALYSE.

question donneront

^Ci)=hi:xD-

JSX'Kt)-?*-"*'

ou, en re

présentant F [ y ) par (f (2), qui sera une fonction

arbitraire de z , connue entre o et a/, ou entre — /et -H/, et remplaçant z par la lettre x^ qui est plus généralement employée , on aura les deux formules suivantes :

l2àl^ y(a)cos/ii~-^-^^ da,

'^iZà J t(«)cosw-^ -^^a.