Si la fonction (f(x) est telle que Ton ait

on obtiendra

ff(a) ûam^ doL = o,

<j) (a) cos m — doLz=: 7. j tf (a) cos m —- da. j

SECONDE PARTIE. t^I

la formule (8) devient alors

-+-7X cosw— I y(a)cos/w — //a,

et de même la formule (6) deviendra

-f- >^ cos/Tfj; I (p(a) cos/itat/a.

1 31 . Si l'on avait , au contraire , y ( — x) == — y (a:), il en résulterait

/^' îra

y (a) COS /w -^ rfa =r O ,

f 9 (a) sm /w — rfa = 2 I <p(a} sm/w — rfa jî

la formule (8) se réduirait à celle-ci :

(11) 1'W=t2 s'D/Wy / fWsin/n-j-^^a, et la formule (6) à la suivante :

(12) tW^"^ sinmor I f(a)sin/72a£^a.

132. La formule (8) représentant une fonction arbitraire entre a:= — / etjî = /,il suffira de faire croître / indéfiniment et de passer à la limite, pour avoir l'expression d'une fonction quelconque depuis x = — 00 jusqu'à

l';2 COUBS D ANALYSt.

Nous allons montrer comment le signe S se changeant en un signe d'intégration , on retrouve ainsi la formule que nous avons démontrée d'abord , et qui renferme deux intégrales définies.

Nous supposerons, pour éviter toute difficulté, que <f(x) ne devienne jamais infini , et soit nul pour x = — oo et X = 00 ; de sorte que la courbe représentée par J" = ? (^) finit par s'approcher indéfiniment de l'axe des x, lorsque X croît indéfiniment, soit positivement, soit négativement.

Le premier terme du second membre de l'équation (8) ,

— I (f(a)'dcc^ tendra vers zéro lorsque / croîtra sans

limite, et il suffira de considérer la seconde partie de ce même membre, qui peut être écrite comme il suit, en

posant -

- I ^(a)coSi(.r-a)^/a-4-- / 'j>(a)cos2s(A*-a)û?a+...

-h- I ç(a)cosmi(d:-a)rfa-H....

Or, si Ton fait nu=p^ on peut regarder p comme une variable à laquelle on donne successivement des accroissements égaux à £ dans la fonction générale

et en multipliant , pour chaque valeur de p, cette fonction par l'accroissement àe p^ 1» somme de tous ces éléments depuis p = o jusqu'à p infini ne sera autre chose que l'expression (i3) multipliée par tt. Si maintenant on fait croiire l indéfiniment, s tendra vers zéro, et la somme (i3)

tendra vers l'intégrale

- i df j f(a)cosp(x — a)rfa.

L'équation (8) conduit donc ainsi à la suivante :

co ^o»

(i4) <p(^) = ~ / ^P I ? W COS/? (j: — a) flfa,

OU, en prenant pour limites de /?, : — oo et + oo, ce qui double l'intégrale,

oo r.00

(l5) ç(j7)=~ / é//?J ff(cL)cosp{x^a)dai

et ces formules ont lieu pour toutes les valeurs de or, depuis — co jusqu'à + 00.

Elles ne diffèrent pas de celle que nous avons démontrée primitivement.