OD
(17) <p(^)=:- I dpsinpx I ff{ot.)smpoLda'y
et réciproquement, si l'on emploie les formules (16) ou (17)9 le second membre se formera par les valeurs
i>^4 COURS d'analyse.
de (f(x) relatives à x positif; et quelles que soient les valeurs de (p( — x) d'après la nature de la fonction (p, ces formules donneront pour x négatif^ (f(x) pour la première, et — ç(j:) pour la seconde.
Toutes ces formules , qui servent à représenter des fonctions entièrement arbitraires , données entre des limites finies ou infinies de la variable, sont de la plus grande utilité dans les applications de Tanalysë aux questions de physique ou de mécanique moléculaire.
Si Ton avait à exprimer d'une manière analogue une fonction de deux variables x et y, on la considérerait d'abord comme fonction de x, y étant traité comme une constante, et Ton ferait usage <ies fortnules ci^essus. La fonction f (a) contiendrait alors j^ et pourrait, par conséquent, s'exprimer par les mëmiss formules, ce qui doublerait le nombre des signes d'intégration ou de sommation \ et Ton agirait de la même manière pour un nombre quelconque de variables.
Exemptes divers.
134. Proposons-nous d'abord de développer en série trigonométrique une fonction qui est égale à une constante entre a: =3 o , or = /, et à la même constante changée de signe, entre x=r=o, x= — /. Il suffira évidemment de prendre cette constante égale à l'unité, et Ton passera ensuite à toute autre valeur, par une simple multiplication.
Nous supposerons donc q>(^) = i dans la formule (11), et nous aurons
2 ^^ . mnx /* . Tra - 2 ^r^ i
— cosmTT . nx sinm
Ot^ pour m pair, t -^cmmit i^ o^ et pour m impair,
SECONDE l»AATIE. l'y 5
I — cosmTT = 2 5 d OÙ Ton conclut
7r\ là / 5 I /
ce qui est la formule demandée. La fonction indéfinie est périodique , et Tamplitude de la période est 2/.
135. Développons maintenant la fonction qui serait égale à x entre leîs limites -r— / et -+- /.
Comme on a alors (p(i— a:) =i=— ç(j:), il faut faire usage de la formule (11)) et l'on trouvera
2^r«* . 1CX r net .
= -> smwi -— I asmm— aa,
ou , en eifectuant l'intégration ,
2// . ira? I . nx I . ^nx i , ,itx \
j:= — (sin— sm2-;--f-ôSi'*3-; — 7sm4-r-h. . . )•
Mais si Ton voulait que la fonction fût égale à x , entre o et /, et à — X entrfe o et — /, on aurait 9 ( — x) = <f{x) ^ et il faudrait employer la iformule (9). On aurait alors
I f ' . , 2W1* ItX r^ 7C0L
= - I ouioL-^jy^ cosm— I acos/w — aa,
ou , en effectuant les intégrations ,
l il I ifx i ^vx 1 ^nx I nx \
Ces deux formules (a), (ft), représentent la même valeur x entre o et 2, mais elles ont. des valeurs égales et de signes contraires entre o et — /: elles ont J'ailleurs Tune et l'autre 2/ pour période.
On voit par là que les lieux dont ces développements seraient les ordonnées Hauraient des parties de longueur
tn6 GovAs dVnalyse.
finie qui coïncideraient , et d'autres parties qui seraient di/Térentes pour Tun et l'autre.
136^ Cherchons maintenant l'expression en série de Tordonnée du trapèze isocèle AMNB, dont la base AB est égale a tt , et qui est tel que depuis A jusqu'à l'abscisse AP = a, on aLii y = X] depuis P jusqu'à Q, y=za^ et depuis Q jusqu'à B, j" = tt — x. Supposons , de plus, que l'on ait y ( — x) = — ç(a:) entre — tt et + tt.
Il faut, dans ce cas, faire usage de la formule (112) , et l'on trouvera , toute réduction faite , pour expression de l'ordonnée j- de ce contour,
y =- 1 sinasinx-f- 2;sin3asin3a:4-^sin5asin5-c-t-. . , j .
Si l'on suppose a = -, le trapèze se réduit à un triangle isocèle AOB, et l'équation de cette ligne brisée sera
j = î(a: — ^sîn3j?-|- =5 sinSx -^wl^x-^, , .y
137. Considérons maintenant des fonctions données depuis a: = — 00 jusqu'à a: = 00.
Supposons que l'on doive avoir y =: e~"', depuis a: = o jusqu'à j;i=oo , et^^e*, depuis x=o jusqu'à x= — 005 on aura alors la condition (p( — x) =y(j:), et il faudra faire usage de la formule (f 6). Elle donnera
.00 /lOO
= - I dpco^px I e ^cù%pouia.
Or
e ^COSpoida =: ;
on aura donc
cospxdx
Et, en effet, nous avons déjà eu occasion de reconnaître que cette expression est équivalente à e""' quand x est positif, et à e' quand x est négatif.
138. Terminons ces exemples par le cas d'une fonction qui soit égale à l'unité pour toutes les valeurs de x comprises entre — i et + i , et nulle pour toute autre valeur de X.
On a 5 dans ce cas, y(~ j:)=:(p(ar), et Ton aura recours à la formule ( i6).
Or, la fonction étant nulle depuis x=i jusqu'à a:=oo , l'intégration donnera zéro dans toute cette étendue, et, par conséquent, il suffit de la considérer entre les limites o et I ; ce qui donnera
y z=z - l dpcospx I cos poida;
et comme on a
sinp cos potaa = 9
P on en conclura
^ sinp cospjc ,
et l'on a ainsi une expression qui est égale à i pour toute valeur de j: entre — i et + i , et égale à zéro pour toute valeur de x en dehors de ces limites. 11 est d'ailleurs facile d'en faire la vérification. En effet, on a
r'^ sinpcospx ^ r°° sin(3r-}-i>^ ^^^ r'^ sm{x'i)p ^^
Or, si l'on a a: >> i , les deux intégrales qui entrent dans
le second membre sont égales à - 9 et les deux termes se
détruisent. Il en est de même si a: < — i ; ce qui prouve d'abord que l'intégrale en question est nulle pour toute valeur de x qui est en dehors des limites — i et -f- 1 • z^ édit. 12
IijS COliaS u\HAIiYSE.
Si mainlenant x est entre — i et + i , les deux termes s'ajoutent et donnent pour somme -? d*où résulte j = i ; ce qu'il fallait vérifier.
Intégration des équations aux dijférentielles partielles.
139. Nous avons vu comment on peut déterminer une fonction de plusieurs variables indépendantes, lorsque Ton connaît ses dérivées partielles du premier ordre par rapport à chaque variable , tant au moyen de ces variables que de la fonction elle-même. Nous allons supposer maintenant que l'on donne seulement une équation où entrent ses dérivées partielles d'un ordre quelconque.
Considérons une équation renfermant d'une manière quelconque les deux variables indépendantes x^y^ la fonction z et toutes ses dérivées partielles qui ne dépassent pas Tordre m ; elle pourra se mettre sous la forme
dz dz d^z d^z dz dx dH .. .
En considérant z comme fonction de x, on peut le développer par la formule de Taylor, ou par celle de Maclauriu, que nous emploierons comme la plus simple.
d^z L'équation (i) donnera la valeur de — — en fonction de
x^y, z et des autres dérivées, dans lesquelles il y aura tout
au plus m — 1 différentiations par rapport à x. En diffé-
rentiant la valeur de -7— ■ par rapport a x^ on aura -; — :t- ;
et «ai compression renfermera y-^> ainsi que sa dérivée par
rapport ky. Mais si l'on remet, au lieu de ^-^5 sa valeur
tirée de (i), on n'aura plus de dérivée qui dépasse Tordre m — I par rapport à x. En continuant ainsi indéfiniment, on aura toutes les dérivées partielles par rapport à x, depuis la m'^'"' jusqu'à Finfini , exprimées au moyen àex^y^z^
— V5 ^^, ? et de leurs dérivées par rapport kj seulement.
Il s'agit maintenant d'obtenir les valeurs de toutes les dérivées par rapport à x^ quand on y fait x = o, ce qui les rend fonctions dey seulement. Pour cela, on observera qu'en faisant x = o dans une fonction de x et y, et diiFérentiant par rapport à j^, on a le même résultat qu'en dif-
férentiant d'abord, puis faisant x ■= o\ ainsi -; r— »
\dxPJ dans lequel on faitx = o, est identique avec — ^ — ^^
en désignant par ( -^ j ce que devient — quand on y fait
a: = o. Il suit dé là que toutes les dérivées de z par rapport à or, dans lesquelles on fera j:= o, se déduisent de z et des m — I premières, et des dérivées que donnent ces m fonctions àey par rapport hy. D'ailleurs, l'équation proposée laisse arbitraires ces m fonctions, et ne détermine que les suivantes. On pourra donc effectuer le développement de z par rapport à x\ comme il suit :
z = Y + Y| dî + Y2 h ... 4- Y«, h . . . ,
Y, Yi , . . . , Y^.i étant des fonctions entièrement arbitraires de y. Et l'on pourrait démontrer à posteriori , comme dans le cas des équations différentielles , que ce dévelop-
pement donne identiquement la même valeur pour -^-^
que l'équation (i).
]8o COURS d'analysk.
140. Si au lieu de deux variables indépendantes, on en avait un nombre n quelconque, on pourrait toujours supposer la fonction développée par rapport aux puissances de x\ il n'y aurait de différence qu'en ce que Y, Yj,..., Y,„i désigneraient des fonctions arbitraires de toutes les variables indépendantes, exceptée.
141. Réciproquement, on sera assuré d'avoir l'intégrale générale d'une équation comme celle que nous considérons, lorsque la fonction et ses m — i premières dérivées par rapport à x, dans lesquelles on fera x = o , pourront être égalées à des fonctions entièrement arbitraires de toutes les variables indépendantes, excepté x\ car, puisque l'intégrale donnée satisfait à l'équation proposée, tous les termes de son développement, à partir du m'^'"', se déduisent des m premiers , de la même manière que dans le développement de l'intégrale générale. Or ces m premiers sont identiques dans les deux développements^ donc tous les autres le*sont, et la fonction donnée ne diffère pas de l'intégrale générale.
142. Nous avons supposé l'équation du m'^'"* ordre complète; mais il suffit évidemment, pour que nos raisonnements subsistent, qu'en la résolvant par rapport au coefficient différentiel de l'ordre le plus élevé de la fonction , pris par rapport à une variable seulement , il n'entre dans son expression aucune quantité où il se trouve un nombre aussi grand de différentiations par rapport à la même variable. Dans le cas particulier où cette circonstance ne se présenterait relativement à aucune des variables, le développement ne pourrait plus se faire de la même manière , et nous nous écarterions de l'objet de ce cours en nous en occupant d'une manière générale.
143. Si les coefficients différentiels les plus élevés par rapport à x et y ne sont pas du même ordre , le développement ne renfermera pas le même nombre de fonctions
SECONDE PiWRTlE. l8l
arbitraires , si on Tordonne successivement par rapport à des variables différentes; mais ces fonctions ne renferment pas les mêmes variables , et tous ces développements sont au fond identiques, puisqu'ils représentent tous la fonction la plus générale qui satisfasse à la même équation.
144. Lorsqu'il n'entre que des dérivées prises par rapport à une des variables , on regardera toutes les autres comme des constantes , et l'on aura à intégrer une équation différentielle à deux variables. Les constantes introduites par cette intégration seront considérées comme des fonctions arbitraires des variables que Ton avait regardées conmie constantes.
Soit , par exemple ,
on aura
3 = Y -h YiOrV . . .+ Y«.-. ^c"'-' 4- ?(^, /),
^(x^y) étant la fonction que l'on obtiendra en intégrant m fois F(a:, y) par rapport à x, et Y, ... , Y,„i étant des fonctions arbitraires de j".
