Considérons maintenant Téquation

qui rentre dans le cas où nous avons dit qu'on ne pouvait effectuer le développement par rapport aux puissances de l'une des variables.

Si l'on pose -7-^ = /* , on aura

dx"*

d'où

il = Y+Yt^ 4- . . . "hY„,-. X "•-• + j F (x, jr)dj;'" = j-

182 COURS D^NALYSE.

Intégrant maintenant n fois par rapport ky^ et obserrant qu'à chaque intégration totale il faut ajouter une seule fonction arbitraire de x, et que les intégrales de Y, ... , Y^, seront de nouvelles fonctions arbitraires de^, on aura

On voit que ce développement renferme des fonctions arbitraires de chacune des variables séparément. , 146. Appliquons la formule de Maclaurin à l'intégration de l'équation très-simple

dz dz

dx dy

On en tire , en diflérentiant par rapport à x,

dz d,— d^z d^z dx d^z

dx^ dxdy dy dy^

dx"^ dy^

fl*"

dx^ dy^"^

donc

z-=z^-\-—-ax-\'-—- H. . --H-j-z-- — h

dy dy^ 1.2 dy^ 1.2... 172

Or le second membre représente le développement de la fonction de j^ représentée par Zç^ , et dans laquelle on change j^ en y -|- ax. Comme d'ailleurs ^0 est une fonction arbitraire F (7), on aura, pour Fîntégrale cherchée,

z = F(.r -h ax).

On trouve ainsi une fonction arbitraire renfermant

SECONDE PARTIE. l83

deux variables, mais d'une manière déterminée^ ce n'est donc pas une fonction arbitraire par rapport aux deux variables.

Equations linéaires aux différentielles partielles.

147. Lorsque T équation linéaire ne renferme pas de terme indépendant de z et de ses dérivées , il est facile de voir que la somme d'un nombre quelconque d'intégrales particulières satisfait encore à la même équation.

Lorsque, de plus, les coefficients sont constants, on y satisfait par des expressions analogues à celles que Ton a trouvées dans les équations diflerenti elles.

Si Ton considère, par exemple, une équation de l'ordre m , renfermant la fonction z et ses dérivées par rapport à x etj", multipliées par des constantes, on pourra poser

z = Ce^"*"^"^; Texponentielle disparaîtra , ainsi que C, par la substitution dans l'équation donnée , et il restera une équation du m'^'"* degré entre a et 6. Elle pourra donner 771 valeurs de 6 en fonction de a ; si Ion en désigne une par (f (a) , on aura une solution de l'équation , en posant

Les quantités a et C peuvent changer d'une manière quelconque en passant d'un terme à l'autre de cette somme , et le nombre des termes est entièrement arbitraire; s'il est infini , et que G soit fini , on a une série ; mais si C est infiniment petit, et de la forme F(a)/ia, F désignant une fonction arbitraire , on a une intégrale prise par rapport à

a . La valeur de z est alors z =/F (a) e ^^ "^^^ ^^^da. , et renfermera une fonction arbitraire.

148. Lorsque les valeurs de 6 sont toutes linéaires par rapport à a , c'est-à-dire qviand on a ë = <? a -|- ft, il est

i84 COURS u'analysk.

facile d'exprimer, sous forme finie , Tintégrale générale

de l'équation.

En effet , une des valeurs de S donnera la série

z = ïCtf ^-^ e« ('•+-«^) = e^^ iCe ^- (^-^^\

Or, Cet a étant arbitraires, SCi*" représente une fonction quelconque de m; donc JlCe^'^^~^^^ représente une fonction arbitraire de e'"^"-^, et par suite de x-f-oy. Si on la désigne par F(j: -\-ay)^ et qu'on raisonne semblablement pour les m valeurs de 6 , on aura , en ajoutant ces m solutions ,

Cette expression renferme m fonctions arbitraires telles , que si Ton développait par rapport aux puissances de x, les m premiers coefficients pourraient généralement être égalés à des fonctions arbitraires de y. Elle représente donc l'intégrale, générale.