Appliquons cette méthode à l'équation

dx^ "~^ d/^ -" ^'

qui détermine les mouvements vibratoires , soit des cordes élastiques, soit de Fair dans les tuyaux cylindriques.

On posera jz; = Ce**^"^ -^^ et Ton aura

a'-* — a'€='=o, d'où a =±«6; par suite ,

z=lCe^^^-^'^\ et z =1 iC^e^^^'-'^'l L'intégrale générale est donc

2 =: F(jr -h cia:) -h F, ( j — ax).

Les fonctions F, Fi se détermineront facilement si l'on connaît z , -- pour x = o»

SECONDE PARTIE. l85

Soient, en effet,

les fonctions F et Fi devront satisfaire aux deux conditions

Intégrons les deux membres de la dernière , et représentons I <f(j)dy par f^ (j-) , nous obtiendrons

C désignant une constante arbitraire. On tire de ces équations

2F(r)=/(/).+ ^+(r) + c, 2F.(r)=/(r)-^>Kr)~C;

la valeur générale de z^ satisfaisant à toutes les condi- { tions , sera donc

Intégration des équations différentielles partielles linéaires, par le moyen des intégrales définies.

150. Nous avons dit tout à Theure comment, en partant d'intégrales particulières, on pouvait en obtenir de plus générales , renfermant des fonctions arbitraires , et exprimées par des intégrales prises par rapport à des variables différentes de celles qui entrent dans Téquation proposée. Le choix que l'on doit faire pour la forme des

l86 COURS D^ ANALYSE.

intégrales particulières doit être tel, que les fonctions arbitraires que Ton aura introduites puissent se déterminer facilement au moyen des données ] et ces données sont ordinairement les valeurs que reçoivent la variable principale et quelques-unes de ses dérivées par rapport à une des variables indépendantes, lorsque l'on donne à cette dernière une valeur particulière. Considérons, comme premier exemple , l'équation

, . dz (Pz

qui détermine le mouvement de la chaleur dans une barie prismatique j dont la surface latérale est imperméable.

La question sera entièrement déterminée, d'après ce que nous avons vu, si l'on connaît la valeur de z relative h X = o. Soit donc donné

(2) z = F( j) pour X = o;

on satisfera à l'équation (i) en prenant

pourvu que w = — a^rn^. On peut même, au lieu de f^ mettre j^ — a, puis multiplier par une constante arbitraire A , ce qui donnera la valeur particulière

z = A^-«''"'^ cos/w (7 — a).

Faisons croître les constantes arbitraires m et a par degrés infiniment petits dm^ da , et supposons que A soit de la forme

/désignant une fonction arbitraire •, la somme d'un nombre quelconque de ces solutions infiniment petites sera encore une solution . On aura donc une valeur plus gène-

raie de z en prenant

z = 1 //(«) e -«•'«'* cos/«(/-- a) i//w^a,

les limites des deux intégrales étant arbitraires. Or cette valeur de z se réduit , pour x = o, à

I / y(a) cos m [y — a) dmdoL .

Donc, si Ton prend — oo et +qo pour limites de ces intégrales, on trouvera pour résultat 27r/'(j^)- ce qui déterminey*(^^), puisque, d'après la condition donnée, on devra avoir

La valeur de z , qui satisfait à l'équation (i) et à la condition (2), sera donc

et toute valeur de z qui satisferait à ces deux équations serait identique avec celle-ci , sous quelque forme qu'elle se présentât. Il ne reste plus qu'à chercher si l'expression peut être simplifiée.

Or on a la formule

J-co «

d'où il suit

et, par suite,

2a y TT \xj~~ 05

i88 Gon&s d'analyse.

expression qui ne renferme plus qu'une intégrale définie

simple.

On peut lui donner une forme plus commode en posant

('•?^y=6% d'où <x= f±za^\pc,

et

da. =lt: 2a \xd^.

Si Ton prend les signes supérieurs , les limites de S seront les mêmes que celles de a , et Ton aura

XU0 ■ 0°

Si l'on prenait les signes inférieurs, les limites seraient renversées , et , en les remettant dans le même ordre , on trouverait pour valeur de z ,

qui ne diffère pas de la précédente, vu que 6 passe par

toutes les valeurs positives et négatives, et que e~~ ne change pas quand S change de signe.

La solution générale de la question est donc donnée par l'équation (4).