CO

X= I I (f{a.)cosamtcosm(x — cx)dmd(x.

Cette expression se réduit à 27r<p(x) pour f = o. Donc, si Ton prend 9 (a) = -^ , on trouvera F (a:) pour ï = 05 d'où Ton voit que l'expression

(4) y"=- — / / f (a) ^'os amt cos m{T. — a) dmd(jL

•/ — 00 •' """ ce

igo couBS d'analyse.

fly

satisfait aux équations (i) et (2) ; mais elle donne ^ =

pour f == o, et, par conséquent, ne satisfait pas à la condition (3). Il reste donc à trouver une valeur de j^ qui satisfasse aux équations (i), (3) et devienne nulle pour t=o ^ en l'ajoutant à celle que donne Téquation (3), on aura une valeur Aey qui satisfera à toutes les conditions.

On remarquera d'abord que si une fonction y satisfait à

l'équation (i),les fonctions -j-^ -^-75 etc., y satisferont éga-

jdty lorsque -~ est nul pour t = o.

Si donc on intègre par rapport à t l'expression (4) et qu'on y remplace la fonction F (a) par /{a) , on aura une solution de l'équation (i) qui , diiférentiée par rapport à f , se réduira à f{pc) pour ^ = o , et qui , de plus , deviendra nulle pour f = o. On obtient ainsi l'expression

v = I I /(a) cosmix — a)dmda,

qu'on peut d'ailleurs vérifier facilement. La valeur de j qui satisfait aux équations (i), (2), (3), et qui est la seule qui puisse y satisfaire , est donc

iX= — 1 1 F (a) cos amt cos m(x — a) dmdoL

(5) ' ^^t/— OOt/— 00

r ^, .sinamt , » , .

I jM cosmfjr — a)dmda.

Cherchons maintenant si ces intégrales doubles sont réductibles , et considérons d'abord la première. On peut remplacer cosûmf cos m(x — a) par

cos/w(x-hû^ — a) -h cosml^-^at — a)

SEGONDB PARTIE. IQI

vi la partie que nous considérons du second membre de l'équation (5) deviendra

j- f j F(a)[cos/w(^-}-<7^— a)-+-cosw(.r--rt^— a)]cf/w^a,

ou

¥{x 4- at) -f- ¥(x — at)

Passons à la seconde partie, et remplaçons-y

sin amt cos m(x — a)

par

sin/y?(x-hgr — g) — sinw(jf — at^a)

elle deviendra alors

té2\ ^ r r r, s sin mlx-hat-a) sin mix-at-oLY] , , (6) 7 — I I /(a) ^ ^ i ^dmda.

Or on sait que, quelque valeur qu'ait/?, l'intégrale

sinptn

dm

-co '"

est égale à tt lorsque p est positif, à «— tt lorsque p est négatif.

Donc l'expression (6) sera nulle toutes les fois que x-\-at — a et a: — at — a seront de même signe ; et par conséquent , il suffit de considérer les valeurs de a qui donnent à ces deux quantités des signes diflTérents. Ces valeurs seront déterminées par les inégalités