OD

= — / I F(a)cos«'/cosnCx — a)dnda

,00 ^ee

— / / -^W ;— cos/î(jp — oL)dndot.,

* «/— oc t/ — 00

^FCONOE PARTIE. j û5

La première partie de cette solution peut être mise sous une forme plus simple en effectuant Tintëgration par rapport an.

En effet, nous avons fait connaître la formule

I COS3* cos ^^zdz = i / - (cos S ' -H sin 6 *) ;

posant z =^ n^t^ S = — rr--? ou conclura de Téquatiou précédente

I cos n ^t cos n(x — <x)drt

La première partie de la valeur de^, qui donne la solution complète de la question, toutes les fois que Ton doit avoii'

— = o pour f = o , prend ainsi la forme suivante :

2 ^/n^tJ-^ oc L V^V^/ \2Vr/J

ou, en posant — yr- = 6 , d'où rf« = zdo^t ,

2 yt

(cosê' H- sine ») F (j: 4- 26 v^^) r/é.

454. Nous allons encore faire connaître Tintégrale d'une équation qui se présente souvent dans les problèmes de physique mathématique. Mais il est nécessaire, auparavant , de résoudre une question auxiliaire qui consiste à ramener à une intégrale simple Texpression

Jf*Tt /•'in I F (/cosO -f- m sin6 cos^j/ -h n sin 9 sin \p) sin 9 r/0 r/4*,

i(^ roiiRs I» 'analyse

F désignant une fonction entièrement arbitraire^ /, /w, // des quantités quelconques indépendantes de et ij^ ; ces limites o, tt se rapportant à Tangle •, et o, cti: à Tangle t^^, De sorte que ces deux angles , considérés comme coordonnées polaires relatives à des axes rectangulaires , détermineraient successivement toutes les directions autour de Torigine. Cela posé, soient

/ = / cos ô', m z= A sin Ô' ces >[/', n = A sin 0' sin ^',

d'où

Tintégrale deviendra

' I F(/cos/?)sinOr/Ôrf>I/,

y^; désignant Fangle formé par les deux directions déterminées par les angles 0, i{; et 0\ ^' , Or s\nQdBd^ est l'élément de la surface sphérique décrite de l'origine comme centre avec Tunité pour rayon ; et, d'après les limites des intégrales, on doit considérer successivement tous les éléments qui composent cette surface et les multiplier par la fonction F (Ji cos/?) qui dépend de l'angle que forment les rayons vecteurs relatifs à ces divers éléments, avec la direction fixe correspondante aux angles Q\ ^'' déterminés par les équations

cosô' =

sin 0' cos\[*' =r

sin 6' sin >p' =

V^/^ -f- ni^ -h n

^/2 4. ;y,ï ^ ni

)/n -f- m^ -h 72' Il est donc bien évident que l'intégrale proposée ne dé-

^TXOIfDE PARTIE. ig'J

pend pas de la direction particulière des axcsj et, pour simplifier le calcul, nous choisirons pour axe des x la direction fixe dont il vient d'être question. Nous aurons alors p =0j et l'expression (A) devient

En intégrant par rapport à tp, on obtient

27r / F(X cosO) sinô</0, expression qui devient, en faisant cos0 = /7.,

de sorte que Ton a , quelle que soit la fonction F,

1 F (cos G + /» sin cos^ -^nsinB sin •^) sin 9 dB d^

Telle est la transformation que nous no\;^s proposions de faire subir à l'expression (a).