Proposons-nous maintenant d'intégrer l'équation

d^u ^ id^'u d^ dHi

Nous aurons une intégrale particulière en posant

tu — C I

a , 6, 7, îî étant liés par l'équation

'9^ COURS UAWALTSF..

Si l'on retranche les deux valeurs de u, correspondantes au double signe de « , et qu'on multiplie par un coefficient arbitraire , on aura encore une solution , qui pourra se mettre sous la forme suivante :

au moyen de la formule (c) du numéro précédent , cette valeur de u prendra la forme suivante, M étant une constante arbitraire :

ou

Si l'on fait la somme d'une infinité d'expressions semblables dans lesquelles les constantes 6, y, 5, M pourront prendre toutes les valeurs que l'on voudra , on aura encore une solution de Téquation (i). Mais la somme

peut, en choisissant convenablement les indéterminées M, 6, y, 5, coïncider avec telle fonction qu'on voudra de jr: + «^cos9, y-j-atsin^costj/, z + fltsin0sin({;. On aura dLonc une solution de l'équation (i) en prenant

l2.)H=-r- I I ^8iHÔrfÔy/^F(jcH-fl^cos0, /-4-«^sinôcos>|/, ^-f-flfsinôsin^p),

F désignant une fonction arbitraire de trois variables , et le coefficient y- étant introduit afin que, pour t = o^

SfiCOHOE PARTIK. I99

on ttouve

L'expression (2) donne donc une solution de 1 équation proposée, telle que pour f = o elle se réduit à o, tandis que sa dérivée par rapport à t devient une fonction arbitraire de a:, y^ z.

Si donc nous pouvions trouver une autre solution de réquation(i) telle, que pour t =: o eUe devint égale à une fonction arbitraire de x^y^ z^ tandis que sa dérivée par rapport à f se réduirait à zéro , la somme de ces deux solutions formerait l'intégrale générale de Téquation proposée. Or, toute expression satisfaisant à l'équation (i) est telle, que sa dérivée par rapport à t y satisfait de même -, prenant donc une expression semblable au second membre de Féquation (2), et substituant à la fonction F une autre fonction arbitraire f^ puis différentiant le résultat par rapport à f , nous aurons cette nouvelle intégrale de l'équation (i)

Or il est facile de vérifier que cette expression devient f(x^ y, z) quand on fait t == o 5 tandis que sa dérivée par rapport à t devient nulle.

L'intégrale générale de Téquation (i) est donc

-+-- I / rsin0f/Ôr/>I;yr-F4-«'cosô,/4-fl^5in0cos4^,z-f-û/sinÔsin4»),

4^^Vo Jo

et, pour t == o, on trouve

âoo COURS d'akalvsk.

L'intégrale est doacinise sous la forme la plus commode, puisque les fonctions arbitraires qu'elle renferme sont précisément celles que l'on donne dans toutes les applications aux questions de mouvement. Ce sont celles qui déterminent l'état initial du système, c'est-à-dire celui qui correspond au temps t égal à zéro. C'est à Poisson qu'on doit la formule (3), qui est d'une très-grande utilité dans la physique mathématique.

1S6. L'intégrale que nous venons de trouver conduit à celle de l'équation plus générale

^^- dt' dx" ^ dy^^ dz^

En effet , si l'on pose

.r = ax', y = by', z = cz'y on obtient

dt^ da/' dy'* dz'^

L'intégrale générale de cette équation sera donnée par la formule (3); et si l'on remplace ensuite x\ y\ z' par

-5 y 5 -9 on trouvera facilement

abc

j—T \ I ts\n^dôd^/(ûi:'^atcosB,'y-^btsinBcos^,Z'\-ctsïnBsin^)\

pour ^ = o, on aura

du , .

t,a formule (:">) donne doue l'inlégrale générale de I'équj(-

SF.CONDK PARTIR. 20 t

tion (4)5 et les fonctions arbitraires qui y entrent sont données, comme dans le cas précédent, par l'état initial du système.

Elimination des fonctions arbitraires.