Si une équation à trois variables x^y^ z renferme
un nombre quelconque m de fonctions arbitraires de x
seulement , il suffira de la différentier m fois par rapport à
j^ en considérant x comme constant 5 on aura ainsi m + i
équations dans lesquelles entreront les m fonctions à éliminer, sans qu'il se soit introduit aucune quantité qui en dépende 5 on pourra donc éliminer toutes ces fonctions,
et l'on aura une équatron aux différentielles partielles du yj^kme ordre,
158. Mais si les fonctions arbitraires renferment x^y et ^ , il ne suffira plus de différentier par rapport à une seule variable*, et pour que l'élimination puisse se faire, il faut de plus que l'on n'ait que des fonctions arbitraires de fonctions déterminées de x^ j^, z.
Supposons, par exemple, l'équation
(l) F[^,/, Z,/(^)]=rO,
y étant une fonction connue de x^y^ z , ety désignant une
fonction arbitraire.
En différentiant l'équation par rapport à jc ety succes-
, . dz dz
sivement , on obtient , en posant — = p, — = ^,
rfF ^F ^F df Idfsi dfo \
dx dz^ df rf<p \dx dz^l '
^F d¥ dF df fdtf d^ \
ip-^lh.'^^'drf'^Adr'^'^i^V^'''
df
On a ainsi trois équations renfermant /et --• En les éli-
minant , on aura une «quation aux difiiérentielles partielles du premier ordre.
Si réquation(i) avait été résolue par rapport kf^ oa
n'aurait eu à éliminer que -~ entre les deux équations dérivées.
159« Si Féquation donnée renfermait deux fonctions arbitrairesy((jp),yi(<})i) de fonctions données y, Çi, les deux
diiférentiations du premier ordre introduiraient -=- ? -^t
et les trois équations ne suffiraient pas pour rélimination de ces deux fonctions, jointes kfelfi.
On différentiera alors les équations du premier ordre par rapport k x et y successivement , et l'on aura trois nouvelles équations , et deux fonctions nouvelles à élimi-
ner 5 savoir -~ 9 -r^' On a donc six équations et six quantités à éliminer*, ce qui ne peut encore se faire.
En diiférentiant les équations du second ordre, on in-
d^ f d^f troduira-T^> -tti et l!on obtiendra quatre nouvelles
df d(f^^ ^
équations. Entre trois de ces dernières et les six précédentes on éliminera les deux fondions^, /i et leurs dérivées jusqu'au troisième ordre ] on aura ainsi une équation aux différentielles partielles du troisième ordre, dans laquelle il ne restera aucune trace des fonctions f el fi^ et qui exprimera un caractère commun à toutes les équations qui ne différeraient de la projposée que par la nalure de ces fonctions.
160. En général, si une équation à trois variables renferme n fonctions arbitraires de fonctions déterminées de ,r, j-, z, en la différentiant successivement par rapport à X et j* jusqu'à Tordre m inclusivement, on obtiendra un
nombre '-^ a équations, ri (w -f- i) // ionc-
SECONDE PARTIE. 2o3
lions à éliminer. Pour que cela puisse se faire, il faudra < en général, que Ton ait
