OU W

L'ordre de Féquation aux différentielles partielles sera donc in — i.

On agirait d'une manière analogue si le nombre de» variables était supérieur à trois.

161. Si les fonctions y, yi , etc. 5 n'avaient pas rcn*fermé j:, ^, z , d'une manière déterminée par les fonctions connues (}), f i, etc , on n'aurait pu les éliminer. •

Si , par exemple , une équation à trois variables renfermait une fonction f entièrement arbitraire de x ety, on introduirait, pour chaque ordre dedifférentiation, autant de fonctions à éliminer que d'équations : l'élimination serait donc impossible.

Mais si l'équation proposée renfermait quatre variables X, j)^, z , u , en la différentiant par rapport à z seulement, on n'introduirait aucune nouvelle fonction \ et par conséquent on pourrait éliminer autant de fonctions arbitraires dex et j", que l'on voudrait-, de même qu'en partant d'une équation en x^y^z^ nous avons vu qu'on pouvait éliminer des fonctions arbitraires de x.

Intégration générale de iéquation où les différentielles partielles n entrent quau premier degré et au ptxmier ordre,

162. Proposons - nous de trouver Tintégrale générale d'une équation entre des variables indépendantes en nombre quelconque , une fonction de ces variables et ses dérivées partielles, qui y entrent linéairement. Considérons, par exemple, une fonction u des trois variables indépen-

^o4 COURS d'axaitsë.

dantes j:, > , z. L'équation donnée sera de la forme

^ . dx dy dz ^

P, Q , R, S étant des fonctions quelconques de .r, j", z, u. Si cette équation a une solution , comme nous le savons d'ailleurs, elle peut se mettre sous la forme ? ip^'ij'i ^5 '0 = ^î ^^ \ùw peut introduire la fonction (p au lieu de m, ce qui donnera à l'équation une forme symétrique qui nous sera très-avantageuse. On aura, en eflet,

dvf

du

dx

du dy

du dz

dfjf

dy dff '

dz df

du

du

du

et l'équation proposée devient

'^) ^di^^d^-^^dz^^dZ-''-

Ainsi y = o représentant une solution de la question , la fonction (f des quatre variables x, j", z, m, considérées comme indépendantes , doit satisfaire à celte équation ^ et réciproquement , toute fonction qui y satisfera donnera , en l'égalant à zéro , une fonction u de jc, y, z qui satisfera à la proposée. Nous pouvons donc nous borner à chercher la fonction la plus générale de x^ y^ z^ u qui satisfasse à l'équation (2)-, et c'est ce que nous ferons au moyen d'une remarque importante que nous avons faite sur les intégrales des équations différentielles simultanées. Nous avons démontré, en effet, que si Ton représente par ^(•^5 J"î z, u) = C une quelconque des trois intégrales des équations simultanées

dy 4 ^3 du

ax dx dx

SCCONDC PARTÎK. ^.o5

on aura, quels quesoieuLr, j^, ^^ ^h

dx dy dz du ^

donc la fonction ^ serait une solution de Téquation (2) si Ton prenait

c'est-à-dire si ^ était une des intégrales, résolues par rapport aux constantes , du système

rfj Q dz R du dx V' dx V' dx

qu'on peut écrire sous la forme abrégée

-^v dx dx dz du ^ ^ P Q R S

On peut même remarquer qu'une fonction arbitraire F(^) de la fonction ^ satisferait encore à l'équalion (2), puisque

sa substitution ne ferait qu'introduire de plus le facteur -rr-

Si donc on représente les intégrales des équations (3)

par

on aura des solutions de l'équation (2) en prenant une fonction arbitraire, soit de i|/, soit de ^^ ou ipj. Mais il est facile de voir qu'il en serait encore de même si Ton prenait une fonction arbitraire des trois, F (cp, ^1, ^,).

Car la substitution d'une pareille fonction au lieu de (f dans l'équation (2) donnerait la somme des résultats que fourniraient séparément <j/, ip, , t^/j , pourvu qu'on multi-

dY d¥ . * ,

pliât le premim* par — ? le second par — > et le troisième

3lo6 COURS d'.V3IALYSR.

par -TT- • On aura donc une solution <le Téquation (2) ou «Y»

de la proposée en posant F(îp, tpi, ^t) =0, ou, ce qui est la même chose ,

F et f représentant des fonctions complètement arbitraires. Il reste à démontrer que c'est là l'intégrale générale; ou, en d'autres tenues, qu'en donnant à x une valeur particulière , zéro par exemple , on peut déterminer la fonction/ de manière que u soit une fonction arbitraire de jet z.

Soit x(jy^ ^) ^^® fonction choisie arbitrairement; cherchons si l'on peutdétermineryde manière que l'équation

(5) +2(0,/,*, tt)=/[+(o,j:, z.^y, +.(<>, J, 2, «)],

soit satisfaite , quels que soient j^ et z lorsqu'on remplace u par x( Jî '^)* Pour cela posons

(6) i (07 X> «, «) = ^y +• (^» Xy h «) = «'> X (r» ») = «>

et introduisons les variables indépendantes p* et iv au lieu de y, z ; l'équation (5) devra avoir lieu quels que soient i^ et w, quand on y aura fait les substitutions fournies par les équations (6), qui donnent pour u^ j, z des fonctions connues de p», iv. Représentant par xs (u^ iv) la fonction connue à laquelle se réduit le premier membre <le l'équation (5) , on aura alors à satisfaire , quels que soient v et iv, à l'équation

ce qui détermine la forme de la fonction/^

De quelque manière ^ au reste, qu'on élimine u^y^ c , on obtiendra une équation qui renfermera la fonction/ «t la déterminera. L'équation (4) est donc l'intégrale générale de l'équation (i), puisqu'elle y satisfait, et que

SRCONDE PARTIE. ît.O'^

pour X = o elle donne pour u une fonction arbitraire de j' et z.

Cette méthode, due à M. Jacobi, et que nous avons exposée sur une équation entre quatre variables, s'applique évidemment quel qu'en soit le nombre, et il serait superflu de rien ajouter à cet égard. U ne nous reste qu'à en faire quelques applications.

Intégration des équations aux différentielles partielles du premier ordre, qui représentent des surfaces cjlindriques, des surfaces coniques, des conoïdes et des surfaces de révolution.

163. Nous commencerons par rappeler les équations finies et les équations différentielles de ces surfaces.

Équations finies de ces surfaces, — Une surface cylindrique est celle qu'engendre une droite qui se meut parallèlement à une direction fixe, en s' appuyant constamment sur une ligne donnée, qui est nommée directrice.

Soient

- F(x,7,a) =: o, F,(a:»r, 2) = o les équations de la directrice , et

A' = az -h a, ^ = Ô3 -f- 6

celles d'une génératrice quelconque, a et è étant constants ^ et a , ê variant d'une génératrice à une autre. La conditîona de la rencontre de cette génératrice et de la directrice s'obtiendra en éliminant jr, j^ z entre leurs équations; d'où résultera une équation de la forme

On aura donc l'équation du lieu des génératrices en éliminant CL , 6 entre cette équation et celles de la génératrice ; ce qui donne , pour l'équation générale des surfaces cy-

!2o8 CCKTRS d'analyse»

lindriques, (f pouvant désigner une fonction quelconque^

ou, en la résolvant par rapport à a: — az^

X — az =f(y — bz).

On peut d'ailleurs vérifier que, quelle que soit la fonction f^ cette équation représente une surface cylindrique.

164. Une surface conique est celle qu'engendre une droite qui passe par un point fixe et s'appuie sur une ligne donnée.

Soient

les équations de cette directrice, et a, 6, y les coordonnées du point fixe-, les équations d'une génératrice quelconque seront

ar — a = û(8 — 7), j^ — 6 = ^ («■— y) ,

a et b variant d'une génératrice à l'autre. Pour que la directrice soit toujours rencontrée par la génératrice , il faut que ces quatre équations aient lieu en même temps ^ d'où résulte ^ en éliminant x^ j^ z^ l'équation de condition

if {a, b) = o.

L'équation du lieu des génératrices s'obtiendra en éliminant a et b entre cette équation et les deux précédentes ; ce qui donne , pour l'équation générale des surfaces coniques,

OU

StlCONDE PARTIR. ^Od

et l'on vérifierait encore que, quelle que soit la fonction /^ cette équation représente une surface conique.

165. Un conoïde est la surface engendrée par une droite qui se meut parallèlement à un plan fixe, et qui rencontre constamment une droite et une courbe données. Prenons la droite donnée pour axe des .z, et le plan fixe pour plan des x et j^ et soient

les équations de la courbe donnée *, celles de la génératrice seront de la forme

Eliminant o:, ^, z entre ces quatre équations, on aura une équation entre a et h^ qui exprime la dernière condition à laquelle la génératrice doit satisfaire. Soit a=<f{h^ cette équation , on aura celle de la surface cherchée , en éliminant a et i entre elle et les équations de la génératrice.

On trouve ainsi

La fonction ç est arbitraire , puisque F, Fi désignent des fonctions quelconques. D'ailleurs on vérifie facilement que, quelle que soit cette fonction ^, Féquation précédente est celle d'un conoïde.

466. Une surface de révolution est celle qu'engendre une ligne quelconque qui tourne autour d'un axe fixe, en conservant avec lui la même position relative : de sorte que , dans ce mouvement , chaque point décrit un cercle dont le centre est sur l'axe et dont le plan est perpendiculaire à cet axe.

Prenons l'origine en un point de l'axe , et soient

F(^, /, z) = o , F, (x, j, z) = o 7.^ édit, i4

2IO COURS o'aNALTSK.

les équations de la génératrice dans une de ses positions^ celles de Taxe seront de la forme

Un quelconque des cercles de la surface aura pour équa* lions

a;» -hx^ + z' = R% z-h ax -^by = C.

Pour qu'il y ait un point commun avec la courbe génératrice , il faudra que R et C satisfassent à l'équation qu'on obtiendra en éliminant x^y^z entre les quatre équations de ces lignes. Soit cette équation de condition

on aura celle du lieu des cercles ou de la surface de révolution , en éliminant R et C entre cette équation et celle d'un quelconque des cercles 5 on trouve ainsi

if{x^ -{- y^^z\ z-^ax -^ by) =r o, OU

^' -h r' + 2» == /(« H- ao? -f. by).

Si l'on transporte l'origine en un point quelconque dont les coordonnées , par rapport à la première, soiestl — a , — 6, — 7, l'équation générale des surfaces de révolutioa aura la forme

167. Leurs équations aux différentielles paHielles. — Les surfaces cylindriques jouissent exclusivement de cette propriété , qu'en cbacun de leurs points le plan tangent est parallèle à une droite fixe , dont la direction est celle des génératrices.

Soient a? = a^, j = i^ les équations qui déterminent rette direction, et ^ = F(a:, j) l'équation d'une surface.

SltCON im P A B t llR . a I ï

Son plan tangent au point (^',./, 2) aura pour équation

# Pour qu'il soit parallèle à la droite donnée, quel que soil le point de contact, il faudra qu'on ait

dz' , dz'

dx' ^ dy'

L'équation générale des surfaces cylindriques est donc

dz dz

ax dy

168. La propriété caractéristique des surfaces coniques est que leur plan tangent en un point quelconque passe par un point fixe. Soient a, 6, y les coordonnées de ce point \ l'équation générale du plan tangent à une surfoce

^ant

^2' ,, dz* , ..

le plan tangent passera constamment par le point fixe, sî l'on a , pour tous les points de la surface,

dz* / M ^ ^^'

l'équation générale des surfaces coniques est donc

169. Le plan tangent à un conoli>(ie derant contenir la génératrice menée au point de contact, coupera l'axe des z en un point dont le z sera égal à celui du point de contact , si Ton suppose les axes choisis comme précédem-

212 CtmRS Ii'aNaLYSE.

ment. L équation du plan tangent

dz* dz!

devra donc être satisfaite par x == o, j= o, r = z'^ ce quî donne , pour tout point de la surface ,

, dz' , d^

dûo' ^ -dy'

L'équation générale de tous les conoïdes , quelle que soit la courbe directrice, est donc

dz dz

dx dy

170. Les surfaces de révolution ont pour propriété caractéristique, que la normale menée en un quelconque de leurs points ^rencontre leur axe.

Soient

JT = «3 + a, y =1 bz ^ ^

les équations de Taxe. Une normale à une surface quelconque a pour équations

dz' dz'

pour qu'elle rencontre l'axe, il faudra que l'on ait la condition

^ dx' -^ dy

dz' "^ dz' , '

dx' dy'

En réduisant cette équation, et supprimant les accents, on aura l'équation générale des surfaces de révolution, qui sera

SKCONUE PARTIE. 21 3

On aurait pu déduire ces diverses équations difterentielles des équations en quantités finies , en éliminant la fonction arbitraire.

Nous allons voir réciproquement comment on peut repasser des équations différentielles aux équations en quantités finies.

171, Intégration des équations de ces surfaces. Surfaces cylindriques, — L'équation différentielle des «ur-

j« 1. -, • dz dz

races cylindriques est, en posant — = /7, —- •=z q^

ap -{- bq =1 I .

D'après la théorie des équations aux différentielles partielles du premier ordre, on posera les deux équations simultanées

djc djr

dont les intégrales sont x — az = C , > — i^ = C, ; d'où il résidte que l'intégrale de l'équation proposée est

F désignant une fonction arbitraire, qui se déterminera par une condition particulière. Supposons d'abord que la surface cylindrique soit assujetties passer par une courbe donnée , ayant pour équations

pour qu'il soit plus facile de déterminer la forme de la fonction F, nous représenterons par une. seule lettre la quantité qui s'y trouve soumise. Soit donc

nous remplacerons partout)" par hz + w réqnation de la

^i4 COURS d'analyse.

su rface de v i eiidra

X — az z= Y (u) ,

et celles de la courbe se changercmt en

/(a:, bz -^ u^ z) z= o, /(x, ôz -f- «,2) = o,

ei il faudra que ces trois équations soient satisfaites par une infinité de valeurs àe x^ z^ u.Si donc on élimine a? et z entre elles, Téquation en u devra être satisfaite, quel que soit u, ou, en d'autres termes, elle devra être identique. On en déduira donc la forme de la fonction F, en tirant de cette équation la valeur de F (a). L'équation de la surface

0? — ûz= F(/ — bz)

sera donc entièrement déterminée.

On peut , du reste , se dispenser de résoudre , par rapport à F, l'équation résultante de l'élimination. Car soit

cette équation; en y remplaçant u par j — bz et F (m) par X — az, on aura , pour l'équation de la surface proposée,

Si la surface cylindrique était assujettie à être circonscrite à une surface donnée , on commencerait par déterminer les points de cette surface pour lesquels le plan langent est parallèle à la direction donnée des génératrices , et il suffira , pour cela , d'exprimer^qu'ils satisfont à l'équation différentielle de la surface cylindrique. Cette ligne étant déterminée, le problème rentre dans le précédent.