Conoïdes. — L'équation générale des conoïdes est

px -f- qy = o.

2l6 COURS d'analyse.

Les équations simultanées qu'il faut intégrer sont donc

dx dy dx dz

— = -^ et — =:— . ou dz = o, X y X o

On en tire z = a^y = bx^ a et h étant les constantes arbitraires. L'intégrale générale sera donc

(f désignant une fonction arbitraire.

Si Ton veut déterminer cette fonction par la condition que la surface contienne une courbe ayant pour équations

on posera -== u , et Ton remplacera y par ux dans les

trois équations qui devront admettre une infinité de solutions communes.

On aura ainsi

2 = ç (a) , F {x, ux, z) = o , F, (x, ux, z) = o.

Si l'on élimine x et z , 1 équation identique en u qui en résultera fera connaître la forme de la fonction cherchée (f (u) .

On agirait comme dans les deux cas précédents , si le conoïde devait être circonscrit à une surface donnée.

174. Surfaces de réi^olution. — L'équation différentielle de ces surfaces est, en prenant l'origine en un point de l'axe,

(X — ^^)p — (^ — ^2) g ^= bx — ajr.

Il faudra d'abord intégrer les équations simultanées

dx ■ — dj" dz

y — bz X — az bx — ay

SECONDE t>AKtie. 217

(bx — ay) dx = (jr — bz) dz, — (ba: — ajr) dy =± (x — az)dz.

Si Ton multiplie la première par a , la seconde par i, et qu'on les retranche, on trouve, en divisant par bx — aj^

adx -f- bdy nr — dz^

d'où

z -\' ax -{- by •= c.

Si maintenant on multiplie la première par x^ la seconde par j^, et qu'on les ajoute, on trouvera

xdx -f- Jfdjr -f- zdz = o, d'où

•îc' 4- j' -H z' = c,;

Tintégrale de Féquation proposée est donc

J?' H- 7' H- »' = /(« -^ ax -h by).

Déterminons la fonction arbitraire , par la condition que la surface contienne la courbe ayant pour équations

pour cela , nous poserons encore

z H-' flfj? -H by = Il y

et nous éliminerons, comme dans les questions précédentes, x^j^ z entre cette équation, celle de la surface et celles de la courbe donnée 5 l'équation finale en u devra être identique , et déterminera ainsi la fonction /(u).

On agirait comme dans les cas précédents, si Von demandait que la surface de révolution fût circonscrite à une surface donnée.

COUAS II ANALYSA.

Calcul des variations, \

175. Le calcul des variations a été conçu par Lagrange pour la résolution d'une nouvelle espèce de questions sur les maxima et minima.

Dans les questions ordinaires, on donne la forme d'une expression qui renferme une ou plusieurs quantités inconnues, et l'on cherche les valeurs maxima de cette expression , ainsi que les valeurs particulières des inconnues qui y correspondent.

Dans ces nouvelles questions f on donne Texpression d'une diflTérentielle qui renferme des fonctions inconnues de X, ainsi que leurs dérivées d'un ordre quelconque par rapport à j:, et l'on se propose de déterminer ces fonctions de telle sorte que l'intégrale, prise entre certaines limites , ait une valeur maximum ou minimum.

Ainsi la différence que l'on aperçoit d'abord entre ces questions et les autres questions de maxima ou minima consiste en ce que les inconnues ne sont pas des valeurs déterminées, mais des fonctions de la variable par rapport à laquelle l'intégration doit être effectuée.

176. La marche à suivre pour résoudre ces sortes de questions est la même que pour les autres. On suppose que l'on connaisse les fonctions cherchées , on les fait varier infiniment peu , en satisfaisant à toutes les conditions^ et l'on exprime que, dans tous les cas, la valeur de l'intégrale diminue, si elle doit être maximum, ou qu'elle augmente, si elle doit être minimum.

Il faut donc commencer par donner les règles générales au moyen desquelles on peut déterminer l'accroissemefit infiniment petit des intégrales, et d'abord des quantités qui peuvent entrer sous le signe de l'intégration. Mais» avant de nous en occuper, nous allons éclaircir ce qui

précède par la considération d'une question particulière.

177. Étant donnés deux points fixes et une droite située dans le même plan y quelle est la courbe passant par ces deux points , qui, tournant autour de la droite fixe, engendre une surface minimum?

Si l'on prend cette droite pour axe des x^ qu'on partage en une infinité de parties la distance des projections des deux points , et que par les points de division on mène des plans perpendiculaires à l'axe , la surface engendrée sera décomposée en une infinité d'éléments, ayant pour expression générale %T:jds , et correspondants à toutes les valeurs de x comprises entre les limites données Xi^ x^.

Il faudra donc que l'intégrale I yds augmente en pas-

sant de la courbe cherchée à toute autre voisine. Et dans l'intégrale i jds'^ qui se rapporte à une quelconque

d'entre elles, les éléments j^'<s^' peuvent se rapporter à des points de division de l'axe qui ne soient pas les mêmes que pour la première \ il suffit que les limites soient les mêmes. De sorte que, si l'on voulait comparer les deux intégrales élément par élément, il suffirait d'en mettre le même nombre de part et d'autre , et l'on pourrait établir telle loi que l'on voudrait entre les abscisses de deux éléments correspondants \ mais il sera avantageux de les supposer infiniment peu différentes l'une de Taulre.

Les limites j^i, Xt pourraient être inconnues , mais assujetties à certaines conditions. On pourrait, par exemple, demander quelle est la courbe qui , ayant ses extrémités sur deux courbes données, et tournant autour d'une droite située dans le même plan, engendre un-e surface minimum. Dans ce cas, on reconnaîtrait qu'on a trouvé la courbe qui résout la question , à ce que l'intégrale

220 COURS d'aKALYSE.

j yds augmenterait quand on considérerait toute autre

courbe ayant ses points infiniment voisins de la première , et ses deux extrémités sur les courbes données , à une distafice infiniment petite des extrémités de la première.

Si Ton veut comparer deux à deux les éléments des deux intégrales depuis le premier jusqu'au dernier, on ne pourrait , dans ce cas , les supposer correspondants à la même abscisse , puisque les abscisses des extrémités sont nécessairement difierentes. 11 est donc quelquefois nécessaire, et toujours permis , de considérer lés deux intégrales que l'on veut comparer, comme décomposées en un même nombre d'éléments correspondants à des valeurs de X infiniment peu différentes , et liées Tune à l'autre par une loi arbitraire.

Des variations.

178. Lorsque Ton considère un élément quelconque d'une intégrale , et que l'on passe à son correspondant , les accroissements que subissent les quantités dont il dépend sont nommés les variations de ces quantités. On conserve le nom de différentielles aux accroissements que subissent ces mêmes quantités en restant toujours dans le système qui se rapporte à la même intégrale. On distingue les variations des différentielles par la caractéristique d que l'on substitue à la caractéristique d^ et on les suppose toujours infiniment petites.

Ainsi , soit y une des fonctions inconnues de x qui entrent dans l'expression sous le signe f\ dj sera l'accroissement que prend cette fonction quand on passe d'un élément de la première intégrale à son correspondant dans la seconde. En considérant y comme étant l'ordonnée

SRCONIJE PAHTIE. 221

d*uiie courbe f J + âj sera l'ordonnée de la courbe après sa variation , et elle correspondra à la même abscisse quey dans la première, dans le cas où les points correspondants se rapporteront à la même valeur de x-^ au contraire, )"+ âj sera l'ordonnée correspondante à l'abscisse a: + Jx si âx est la fonction infiniment petite de x, et continue comme cîy, qui exprime la différence des abscisses des points que l'on fait se correspondre dans les deux intégrales. Dans ce dernier cas, il est peut-être plus commode de regardera eijr^ ainsi que dx^ àj^ comme des fonctions d'une m.ême variable arbitraire t qui n'entre même nullement dans l'expression donnée , et alors la fonction sous le signe J* renfermera les différentielles fitr, d*x^,..^ aussi bien qaedj^ rf'j^,..., rapportées toutes à une même variable qui n'a pas même besoin d'être désignée.

Lorsque l'on connaît les variations de toutes les quantités qui entrent dans une fonction, la variation de cette fonction se détermine par les règles ordinaires du calcul différentiel , qui font connaître l'accroissement infiniment petit d'une fonction, d'après les accroissements de toutes les variables qu'elle renferme. Ainsi l'on aura généralement

f I ) oFlu, VyW,. , ,} = -7- ou -\ r ^*^ -^ -r- otv-h ....

^ ' \ ' ' ^ (fu dv dw

179. Transposition des caractéristiques d et d, — II est important de remarquer que dans tous les cas on peut intervertir Tordre des opérations quand on prend la différentielle et la variation d'une fonction quelconque j^. En effet , soit u+ ii^ ce que devient la fonction v^ en passant du premier système au second. Si l'on change tent + dt^ la différentielle n'^"" de la fonction dans le second système sera fiî"^'-f-d"c?(/. Donc la différentielle <i" t^ de la fonctien dans le premier système a pour variation d"d^ ] on a

222 COUAS 1>\naLYSI£.

donc

(2) ^^"f = d'^Sv.

Par là les variations de toutes les diiTérentieUes d'ui>e fonction sont déterminées par la variation de la fonction elle-même, et il en résulte qu'on peut exprimer la variation d'une fonction quelconque de x, j^, ^, .. . et de leurs différentielles , au moyen des variations de ces quantités X, j^ z, et des différentielles de ces variations. Il suffira de faire usage de la formule (i), dans laquelle u, y^ w,... seront remplacés par x, jr^ -^v? ^^ ^fy"? dz y.,,^

Ainsi, en représentant par A, B, €,.••? Ai, Bi, Ci,..., As, Bi, C3,..., les dérivées partielles par rapport à ces quantités x, . . . , dx^ . . . , </ 'x, . . . , d'une fonction

F(^, 7, -5,. . ., dx, df, dz,, . .y d^Xy d'^Xy, . .),

on aura

I + A,</^^x4-BaÉf»^7-+-. . . .

180. Mais il arrive souvent que les différentielles sont toutes prises par rapport à une variable particulière qui entre dans la question \ alors les expressions que l'on a à considérer ne renferment que les dérivées de toutes les autres par rapport à celle-là , et Ton a besoin de calculer les variations de ces dérivées. On pourrait bien les déduire de la variation des difiérentielleai, en exprimant d'abord ces dérivées en différentielles prises par rapport à une variable indépendante quelconque; mais il vaut mieux traiter la question directement.

Soit/ une fonction de a?, que nous pouvons nous représenter {fig* 2) comme l'ordonnée d'une courbe dont x serait l'abscisse. Représentons par Y et X ce que de-

viennent yetxi la différence -7— —■ sera la varia-

lion de -^ 5 ou d -7*^ , et il s'agit de rexprimei- au moyen

des variations de j? et y et des dérivées de ces variations. 11 y a deux cas à examiner, suivant cpie X est identique avee x^ ou qu'il en difière.

i^. Suppoecms que X ne diffère pas de x^ ou que l'on ait dx = o, c'est-à-dire que nous regardions comme correspondants sur deux courbes infiniment voisines les points M , N, qui répondent à une même abscisse ^elconque AP \ MN sera d[y , et , en diffërentiant par rapport a X les deux membres de l'équation Y =/ -|- dy, on obtiendra

£/"Y . dy d^By

daf^ da^ dx^

d'où résulte

fltr" dx^

tP. Supposons maintenant que les points correspondants M et N {fig* 3) aîeia^t des abscisses différentes AP, AQ ^ on aura

AP=a:, MP=/, AQ=X, NQ=:Y, PQ=5^, NK=ay,

et lorsque x croîtra par degrés ^auic ,. X, ne croiU'a paa par degrés égaux, puisque X = a: -|- àpcy et q^ie àx. esjt une fonction, soit de x^ soit d'une variable indé^udaate, arbitrairement choisie. Ainsi, différentier par rapport à x ou à X ne sera pas la même opération , et l'équation

ne conduirait pas , comme dans le cas précédent , à

5X" "* ^ ~^ dx^ '

Ce n*est pas non plus le cas d'appliquer la formule (3), parce que d^'Y et d'y ne se rapportent plus aux accroissements égaux de la même variable. Il faut donc calculer

directement la différence -— r- r^ •

Désignons par u l'ordonnée M' P de la courbe variée, pour la même abscisse x que Vy de la première courbe , qui est MP, et par w la différence M'M , qui serait dy si l'on supposait âx = o. On aura alors u = ci)-f-j^; et, en observant qu'on peut considérer Nw et M 'M comme

égaux , et que wK = ~- Jj: , on aura

dx Différentiant n fois l'équation

on obtiendra

d'^u d'^ta d'^Y

ziz ( -L,

da^ daf^ dsf^

Mais les points M' et N appartenant à la même courbe, les dérivées /i'*'"*' des ordonnées de ces deux points par rapport à leurs abscisses respectives x et X ne sont autre chose que des valeurs d'une même fonction dans laquelle on met successivement pour la variable les deux valeurs différentes AP, AQ, ou x et x-^ix^ d'où résulte, d'après les règles du calcul différentiel ,

— > — . i Sx

</X« '^ dx" dx'^' ' et , d'après l'équation précédente ,

SVGONDB PAETIB. 22$

Observant d'ailleurs que -; — tt ne diffère de ^ — — que d^une quantité infiniment petite, cette équation donnera, pour la différence ^^— ■;7^> ou ^^~> la valeur suivante :

(5) ^.Ç: = £îî4.£!^j,,

que nous regarderons comme renfermant la première ,

5r = w -f- ~ ^or.

Les formules (5) et (4) coïncideront lorsque l'on supposera 5a: = o.