Transposition des caractéiistiques d et f

Considéronsmaintenantrintégrale i U,U désignant une

expression différentielle, et les limites x^^Xt étant constantes ou variables. On peut la décomposer en une infinité d'éléments , dont le premier correspond à Xi et le dernier à Xt diminué de la dernière différentielle de x. Elle sera donc la limite d'une somme telle que

Considérons maintenant l'intégrale infiniment voisine dans laquelle elle se change par la variation des quantités dont elle dépend, et soit U' ce que devient U en général dans ce changement, de sorte que- U' — U = dU. tes limites de cette nouvelle intégrale seront x, -H âxi et Xi + dxt , et elle pourra être regardée comme la limite de

2* éd. i5

226 GOUM d'aNALYM.

ces nouveaux éléments correspondant k chacun des premiers.

L'accroissement de Tintégrale est donc la limite de

( ir. - u.) -h (u; - u,) 4- . . . 4- (r - U,„ ),

ou de

;'est-à-dire | 9\],

Ainsi, soit qu'on suppose les limites Xi^ Xt constantes, soit qa^on les suppose variables , on a

(6) r'v= f'sVi

de sorte , que pour connaître la variation d'une intégrale définie, il suffit de calculer celle de la difTérentielle, et de l'intégrer entre les nièmes limites.

i82. Expression de la variation d*une intégrale dé-finie. — Considérons une intégrale de la forme

Jr \dx.

la valeur de V étant

y désigne une fonction inconnue de x^ ^^y\y'\''*-'iy^"^ sont les dérivées successives par rapport à x. Nous nous bornons à considérer une seule fonction j^, parce que, s'il y en avait plusieurs autres , il suffirait de reproduire pour chacune ce que nous allons fiûjre pour j^« Nous examinerons dewx cas distincts : celui <m X], Xt ont des valeurs fixes données, et celui où ces limites peuvent varier d'à* près certaines conditions données.

SECONDE PARTIE. aan

i^. Supposons d'abord Xi et Xi constants; nous pom***' rons alors faire âx = o et employer la fornade (4) qtii donne pour une dérivée quelconque j^^*"^

Cela pose , si Ton observe que la variation de x ou ix est nulle, et que, par conséquent, celle de dx ou ddx Test aussi, d'où il suit que i(\dx) = cîV.rfx, la formule (6) donnera

(7) d I \dx=: I 'èV.dx.

1 ydx=: f l

Calculons maintenant ^V.

Or, conmie nous Pavons déjà remarqué, l'accroissement de Y sera donné par les règles ordinaires du calcul différentiel, au moyen des accroissements des quantités qui ont varié dans V, c'est-à-dire de y^ J^'v? y^^K On aura donc

que nous écrirons, pour plus de commodité, de la manière suivante :

^ = M^r + ^fy' ■+- W/" •+- Q^/^'-f- ... -h u*r<«).

L'équation (7) deviendra ainsi, en exprimant ^',..., dy^'*'^ au moyen de la formule (4),

Nous avons, sous le signe/, la £(>iictioii indéterminée dy et ses dérivées par rapport à or; ces dernières sont déter--

228 COtJRS n'ANAI.YSÏ.

minées par ôy^ et il est nécessaire de les faire disparaître de l'intégrale en les ramenant à dy seul , qui est entièrement arbitraire. Or, c'est ce que l'on fera facilement au moyen de l'intégration par parties.

En effet , si Ton désigne par u et v deux fonctions de x^ on établit facilement, par une suite d'intégrations par parties, la formule suivante, qui est souvent utile dans l'analyse :

u-r'dx:=:u-

dx^ dir"-'

dud^-^v d^ud^-^v

^ ' * d^ud^-^v d'*-*u , rd^u ,

da^ djc^-* ^^daf"-' J djc^

En faisant usage de cette formule, on obtiendra les équations suivantes :

/ll d^dy ^j <^""'^r dV d'^-'Sf d^Vd^-^fy

^d^^^'^J''^d^^^> dJH rf'P

et il faut bien remarquer que — ? -t-tv*», représentent

les dérivées totales de N , P, . . . , considérées comme fonctions de or, et dans lesquelles 6rt regarde y comme dépendant de X» On aura donc enfin , en prenant les intégrales

entre OTi et jc^ ,

SKCOHDE PARTIE. ^^9

dx dx'' dx*"- /

( rfQ d'--'\i \ dfy

"^ y~'s^-'-^iù^)dx

«te"-"

S'il y avait une seconde fonction z dans V, on ajouterait au second membre de cette équation une autre expression qui n'en différerait que par les valeurs des fonctions qui remplaceraient N , P,..., et par le changement de y en z. Il en serait de même pour un nombre quelconque de fonctions.

183. Si la fonction V renfermait les valeurs de j, j^', . . . , relatives aux limites, la variation de l'intégrale se com- * poserait des termes que nous venons de calculer, plus les suivants :

Or, les quantités cî/i, cîj',,..., (îj„ (^r'av n'étant pas . des fonctions de x, on pourrait les faire passer hors du signe/, et les termes à ajouter se réduiraient à

djc-{-,...

2". Supposons, en second lieu, que .r,, Xt soient va-

23o GOUftS d'aBTALYSS.

riables , et que dx ne soit pas nul. On aura , dans ce cas ,

I ydx= f ^(\dx)z=:l (iV.dx-^YdSx),

Llntégration par parties donnant

Téquation précédente devient

Sj Ydx = lySx\ -h 1 (^V.^~€/V.^x).

Soit maintenant

d\ = Ldx-h M4r H- Ne//' 4- P4r " 4- Qâ[r '" 4- . . . , et , par suite ,

il en résultera

ou , en vertu de la formule (5),

^V.dlar — i/V.^j? = d:r (Mw-HN — 4-P^ "^ ^ ^ 4-.. •)• On a donc, pour l'expression de la variation cherchée,

s£'yd-= (v*-)'Vjr''(M«+Ng+pg+Q^,H-...) d..

On peut remarquer que cette expression ne difll&re de celle du cas précédent que par l'addition du terme

I V^.r| ; car w désigne ici ce que ày désignait dans

l'autre. Si donc on appliquait semblablement Fintégra-

SSGOÎfDK PARTIS. 33l

tion par parties, on ferait disparaître tons les indices de diflerentiation sur w sous le signe /, et Ton trouverait

Ydx ={ I

dx J dx

dx' ' ] dx"^

da^-'

/"« /„ rfN d-9 d'Q d"\J\ ,

»S'il se trouvait dans V une seconde fonction inconnue z^ dW renfermerait de plus des termes de la forme MV + N V + V^z" + .... On poserait

et Ton ajouterait à l'expression précédente des termes ou &)' entrerait de la même manière que w. Il en serait de même, quel que fût le nombre de ces fonctions.

Enfin, si V renfermait les valeurs de x^y^ z, . . . ^y\ ^' ,. . . , relatives aux limites , on j ajouterait les termes suivants :

^ ^ Jx^ dx, •" J^^ dy, J^^ dx,

184. Le cas où Xi, Xt sont variables pourrait être immédiatement ramené à celui où ils sont fixes , sans faire usage de la formule (5).

En effet, considérons V comme l'ordonnée d'une courbe MN (jfïg-. 4)-) et soient AP = Xi, AQ = Xt \ on aura

\dx = PMJNQ,

23a couES dVnalyse.

Soit maintenant MiNi la courbe après la variation^ la valeur de Tintégrale proposée sera , dans le second système, l'aire PiMiNiQi: on peut donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre , regarder la variation de Tintégrale comme égale à

NQQ.K — MPP.H -+- M.LWr.

Les deux premiers termes représentent

\i9xi — Vi^wC,, ou

Le troisième est Tintégrale fâ\.dx prise entre les limites Xi -f- âxi et Xs, ou , en n^ligeant un infiniment petit du second ordre, entre Xi et Xf. Donc enfin

X^ \ ! x^ «/Xj

JV étant la variation de'V dans Thypothèse $xr=o^ et par conséquent ayant la même signification que dans le premier cas. Son expression sera donc la même; seulement il conviendra de représenter la variation de y autrement que par ^, qui, dans le cas actuel, aurait une autre signification , et nous désignerons par w la variation à^y dans l'hypothèse Jx == o. 11 suffira donc , pour obtenir

la variation cherchée de l'intégrale I V/ir, d'ajouter

( Vcî»r j au second membre de l'équation (9), dans lequel

on remplacera iy par o).

On retombe ainsi sur la formule (10), comme cela devait être. On y ajouterait de même l'expression (i i), si V renfermait explicitement les valeurs des variables aux limites.

SECONDE PAETIB. 233

185. Il nous reste à examiner le cas où la variable indépendante ne serait pas désignée, et où la fonction sous le signe J ne renfermerait pas, par conséquent, des dérivées par rapport à x^ mais des différentielles prises par rapport à une variable arbitraire qui n'entre pas dans la question, et n'est nullement désignée. Soit donc proposé

de trouver à \ U, en supposant

U = F (.r, dx^ d^Xy . . ., Xydy^ d^y^ . . .).

Les limites x^ et x^ étant fixes ou variables, on a toujours , comme nous l'avons démontré ,

et, pour une variable quelconque u,

Cela posé, désignons par L, M, N, P,... les dérivées partielles de U par rapport aux quantités x, dx^ d*x, rf'x,..., et par L', M', N', P',... ses dérivées partielles par rapport à j^, dy^ d*y^ ^^,..., on pourra exprimer ^U de la manière suivante :

SJ] = hSx -+- USdx -H ^Sd'x -^ VSd^v

Il est inutile de faire remarquer que les diverses quantités L , M,..., L', M',..., ne sont pas du même ordre infinitésimal, et que le second facteur de chaque terme rétablit Thomogénéité. Intégrant les deux membres de cette équation , et faisant sortir du signe f toutes les variations des diflérentielles au moyen de Tiulégration par parties, on

234 COURS f>\ff4LYSB.

obtient la valeur suivante de â

— dP

-f.rf»P

d'ix-h -.A'"'

dSf-hP

d'Sf-^. . .|

^M4-rf'N — r/^P-f....)

-f- / 5/ (L'— é/M'-Hrf^N' — ry-»P' + . . .).

Si l'on avait dans U d'autres fonctions que x ex y^ on ajouterait des expressions semblables à chacune de celles qui se rapportent k x ovl y dans cette formule. On agirait comme dans les cas précédents si U renfermait explicite-* ment les valeurs des variables aux limites.

Détermination des fonctions inconnues,

186. La condition pour qu'une intégrale définie soit maximum consiste en ce que , quelque signe et quelque grandeur qu'on suppose aux variations infiniment petites dx^Sjj dz,..., la Tariation de cette intégrale soit constamment négative : la condition du minimum sera , au contraire , que cette variation soit toujours positive •, et , dans les deux cas, elle doit être de signe constant. U faut donc que la partie de cette variation où n'entrent que les premières puissances des quantités dx^ ^V9 soit nulle, et cette condition sera commune au maximum et au minimum. On reconnaîtra l'un de l'autre au signe de l'en-

SBGONDE PARTIE. 235

semble des termes du second degré , signe qui devra d'ailleurs être constant.

Nous considérerons le cas général où oTi, Xf sont variables , et nous supposerons les dérivées prises par rap* port à Xy ce qui est toujours possible. Alors l'expression

de la variation de l'intégrale f YdXj en se bornant aux

termes du premier ordre et en supposant que V ne renferme qu'une seule fonction jr^ est donnée par la formule (lo). Il faut donc égaler à zéro le second membre de cette [équation , pour avoir la condition nécessaire , tant pour le maximum que pour le minimum de l'intégrale.

Mais la somme des termes en dehors du signe / doit être nulle, et l'intégrale doit l'être aussi sépar^ent-, car, sans cela 9 si l'on fixait arbitrairement les variations indépendantes relatives aux limites , il resterait encore sous le signe f la fonction arbitraire w, et cette intégrale définie ne saurait conserver la même valeur, quelle que fût cette fonction ; le second membre de l'équation (lo) ne serait donc pas constamment nul.

D'ailleurs cette intégrale i (ùdx (M-^^ — ^T^^'"]

ne peut pas être nulle , quelle que soit la fonction cû, à moins que la quantité qui la multiplie sous le signe/ ne soit nulle. En effet, w étant indéterminé pour toutes les valeurs de x entre Xi et Xj, peut être toujours pris de même signe que le second facteur *, tous les éléments de l'intégrale seraient donc positifs, et leur somme ne pourrait être nulle. 11 serait d'ailleurs indifférent que w fût assujetti à certaines conditions pour les valeurs a:i onx^y parce que deux éléments n'ont aucune influence sur une intégrale. On doit donc avoir l'équation suivante :

^ ' fijc dx^ dx" ^ dx"

236 COURS d'ahalysb.

Cette équation difiTérentielle est généralement de Tordre 2/1^ puisque V renferme j^ ^"^ , et que, par conséquent, U peut le renfermer. Elle est nécessaire , mais non suffisante,

pour que l'intégrale i ^dx soit maximum ou mini-

•Ar,

mum. Elle renferme les quantités j:,^,/',^'',..., et fera connaître y en fonction de x et de 2» constantes arbitraires.

Considérons maintenant lés termes en dehors du signe / dansTéquation (10). Si les variations relatives aux deux limites sont indépendantes entre elles, la somme de ces termes devra être nulle pour chaque limite.

Si la question établit des relations entre les variations relatives À une même limite, on s^en sert pour éliminer un nombre égal de ces indéterminées , puis on égale à zéro les coefficients de celles qui restent indépendantes \ ces équations , jointes aux équations intégrales, serviront à déterminer les constantes , ainsi que les valeurs de x, y^ z, relatives aux limites.

187. S'il y avait plusieui*s fonctions y, -s,..*, ^^ s^*" vrait la même marche. L'intégrale qui entre dans la variation devrait encore être nulle, indépendamment des termes intégrés. Elle renfermerait, comme nous Tavons vu; pltisieurs fonctions o), w',..., dont les valeurs sont

« = 5j^ — jr ^Sx, tù' =.8z — z'$Xy . . . . ,

Ces fonctions arbitraires seraient indépendantes , puisque dans chacune d'elles il s'introduit une nouvelle variation arbitraire. U faudrait donc que les quantités qui multiplient chacune d'elles fussent nulles séparément, ce qui donnerait autant d'équations différentielles simultanées qu'il y a de fonctions à déterminer.

SBCONDIt FAKTn. 287

Klles seraient de la forme *

^N enp d^q

dx dx^ dx^ **' '

M', N',.». représentant, par rapport à z^ ce que M, N,... représentent par rapport à y.

Les constantes se détermineraient encore par les conditions relatives aux limites.

188. Si les fonctions j*, z étaient assujetties à satisfaire à une équation F(a:, j", ^) = o, les variations ix^ c3y, àz satisferaient à la suivante :

On pourrait en tirer àz en fonction de ^.r , cîy, et le substituer dans l'expression de la variation de l'intégrale \ on aurait ainsi une fonction indéterminée de moins sous le signe /, et , par suite , une équation de moins , qui serait remplacée par F (x, y^ z) = o.

En eifet , la quantité sous le signe /, qui doit être égalée à zéro, est de la forme

et l'équation (a) devient, en remplaçant iy et $z par leurs valeurs ,

■— -îx -H :r- (r ^«^p -+- «) -^ -7-(2'^Jc -h «') = o.

dx dy ^ ' dz ^ ^

Le coefficient de dx dans cette équation est nul., puisqu'en diiFérentiant l'équation F(x, j-, z) = o, on trouve

^F dF , dF ,

dx df dz

238 COVaS D^ANALTiK.

il reste donc seulemeft

dF ,dF

djr dz

l'irant de là eo', et le substituant dans l'expression A(ù + AV, qui doit être égalée à zéro , on obtient

et cette quantité devant être nulle ^ quelle que soit la fonction co, on doit nécessairement poser

dF

dz On aura ainsi entre j^ et z les deux équations

et

d'où Ton pourra tirer j^ et z en fonction de x.

189. j4utre espèce de condition. — Souvent, au lieu d'assujettir les valeurs de x^jyzk satisfaire à une équation de forme déterminée , on demande qu'une certaine intégrale définie conserve une valeur constante : on a alors ce que l'on appelle un maximum ou un minimum relatifs

Soit donc f UcJr = a, et proposons-nous de trouver le maximum ou le minimum de / Vdir. Les variations

SECONDE PA&tlt. 239

de CCS deux intégrales devront être nulles ; et, en supposant d'abord les limites fixes , on arrivera aux deux équations

I utùdx =: o, (€) I ç^dx = o;

et la seconde devra être satisfaite quand on y mettra pour (à une fonction quelconque satisfaisant à la première; M et 1^ sont déterminés par U et V au moyen d'une formule démontrée précédemment 5 et w désigne encore 3y — y^x. On voit de suite que cette condition serait remplie si u et ^ ne différaient que par un facteur constant, et nous allons démontrer que cela ne peut être autrement.

Posons , avec M. Cauchy,

U<mIX Z=Z (f(^x)y

cette fonction <f(x) ne sera assujettie, en vertu de l'équation («), qu'à la condition ç(a:j) = o; on a d'ailleurs évidemment (p(j:i) = o, mais a)(a:) est entièrement arbitraire entre oTi et et x^. On tire immédiatement

ttw =z ©' (x), d'où 6> = Substituant celte valeur dans lequation (S), on obtient

Pour y introduire , au lieu de (f (x), la fonction (f(x) dont les conditions sont bien connues , intégrons par parties j

nous trouverons, en désignant par (-j la dérivée de-»

24o cou&s d'analtsc.

prenant Xt et x^ pour limites des intégrales , et observant

que <f{x) devient nulle à ces limites, il vient

et , par conséquent ,

Cette équation devant avoir lieu quel que soit <f(x)^ on en conclut nécessairement ( -| = o, et, par suite,

^=^ cLy ou (^ = aa,

a désignant une constante inconnue.

Telle est donc l'équation différentielle qui déterminera la fonction y. Quand sa valeur sera trouvée, et que les constantes introduites par l'intégration atu*ont été déterminées par les conditions des extrémités, on la substituera

dans l'équation I U^x = a, qui fera connaître la va-

leur de la constante a.

Il est facile de voir que Ton arriverait au même résultat ,

en cherchant le maximum absolu de I (V— aU)d[r,

et déterminant la constante a comme nous Tavons indiqué. On retombe ainsi sur la règle donnée autrefois par Euler.

Supposons actuellement que les limites x^ , Xt ne soient pas fixes , les équations (a) , (S) seront remplacées par les deux suivantes :

^ et X désignant les termes en dehors du signe somme , qui deviennent ^i et /i à la première limite, et t//„ ;j, à la seconde.

L'équation (â) devra être satisfaite quand on mettra pour 0) une fonction quelconque telle que l'équation (y) ait lieu, de quelque manière que ce soit 5 ainsi w n'est

[ u(ùdx soit égal à

^i — ^î9 et il faut que l'équation (cJ) ait lieu pour toutes les valeurs de w qui y satisferont : c'est là ce qui doit déterminer la fonction inconnue j".

[ iioidx = (p (x) , on aura ç(xj ) = o, et 5 en vertu de l'équation (cî),

et(f(x) ne sera assujetti à aucune autre condition.

Reportant dans l'équation (4) pour w sa valeur 5Ltf],

il vient

Pour introduire au lieu de yX*^) '^ fonction (f(x) dont les conditions sont connues, intégrons par parties; l'équation précédente deviendra , en ayant égard aux valeurs de

(0 #(2 — X« — ( ^ j {h ~ *') ~" / 'ïW u) '^'^ = ^'

et comme (f(x) est tout à fait arbitraire entre Xi et x^ , il faut que cette dernière intégrale soit nulle, ainsi que la partie restante du premier membre. On aura donc en-

core

— ) = O, ou U z=: ctUf

2« édit. 16

242 COimS WMTiM.TS%,

a dësignaiit une constante. Remplaçant (-] par a dans la pionnière partie de Féquation (4)9 on aura

X» — x« — « ih — 4^1) = *>•

Les constantes introduites par l'intégration se détermineront par les conditions relatives aux extrémités, et la

constante a par Téquatîon 1 Vdx = a.

On voit encore qu'on arriverait aux mêmes résultais en chercliant le maximum ou le minimum absolu de

Jl (V — a\])djç^ a étant une constante indéterminée.

On traiterait d'une manière analogue le cas où l'on aurait plusieurs fonctions inconnues, ou plusieurs intégrales définies ayant des valeurs constantes.