Considérons maintenant le cas où l'intégrale est

I U, U ne renfermant que des diftéren-

tielles prises par rapport à une variable arbitraire. La variation de cette intégrale est donnée alors par la formule (la), et, par les mêmes raisons que dans le premier cas, il faut égaler séparément à zéro la partie qui est dégagée du signe /et celle qui se compose de toutes les intégrales , qui sont en nombre égal à celui des variables x^jr<fZj,,.,

Or les fonctions dx^ djy âz^.., sont complètement indépendantes les unes des autres; donc chaque intégrale doit être nulle séparément , ce qui conduit aux équations suivantes '

L ^dM 4-^'N -^r/^P -h..=o,

U' — dW' -4- r/»N" — d^V" -h . . . =0,

SRGONDF. PAKTIE. 2^3

On aura ainsi autant d^ëquations que de variables jr, y^ 2,... 5 et comme Tune d'entre elles doit rester indéterminée, il est évident qu'une de ces équations doit rentrer dans les autres. Nous nous bornerons à cette remarque ^ et nous ajouterons qu'on trouve ici Un avantage que ne présentait pas le calcul du premier cas 5 c'est qu'on pourra choisir le système d'équations le plus avantageux, en laissant de coté l'équation la moins simple. Quand on aura trouvé j^, 2 5... en fonction de x, les constantes arbitraires introduites par l'intégration se détermineront, comme dans le premier cas , au moyen de l'équation qui se rapporte aux limites.

191 . L'intégration des équations .(j6) devient plus simple lorsque U ne contient pas a:, ou Tune des autres fonctions ; car alors, le premier terme de l'une de ces équations étant nul , et tous les autres , des différentielles exactes , on aura immédiatement une intégrale première de cette équation. Si plusieurs des variables a:,j",... manquent à la fois dans U^ un nombre égal des équations (16) sont intégrables.

192. Les équations (i4) présentent la même simplification quand y on z n'entrent pas dans V; mais, quand c^est X qui manque, il faut faire quelques transformations pour obtenir la simplification que nous ont offerte immédiatement les équations.

En effet) en supposant, pour plus de simplicité, qu'il n'y ait qu'une seule fonction inconnue j^, la condition du maximum ou du minimum sera

,. rfN rf'P é/«Q et l'on aura , en observant que V ne renferme pas a:,

Retranchant de cette équation la précédente , multipliée

parj^', il vient

Or il est facile de voir que le second membre de cette équation est une dérivée exacte.

Pour cela, remarquons généralement qu'en désignant par u et ^ des fonctions quelconques de x^ une expression de la forme

est une différentielle exacte quand n est pair, et

ud"ç -H vd"u

en est une lorsque n est impair. U en résultera que tous les binômes qui forment le second membrje de la dernière équation seront des dérivées exactes , et que, par conséquent, on pourra intégrer les deux membres de cette équation ] ce qui conduira à une équation d'un ordre moins élevé.

Supposons, par exemple, que V ne renferme quey^j' et y". La dernière équation devient

d'où, en intégrant ,

(b) V = Nr' -h Pj" - j' ^ -h c,

équation du troisième ordre, tandis que l'équation (à) était du quatrième. Si, en même temps, V était indépendant de j^, on aurait M = o ; l'équation (a) serait in-

légrablcj et donnerait

En éliminant -r^ entre cette équation et la précédente , on trouverait

V = Pr" ■+- cy -+- c,

C et C désignant deux constantes arbitraires. Cette équation n'est plus que du second ordre. Ainsi , lorsque V ne renferme que y\y\ on peut obtenir une intégrale seconde de l'équation (a), et ramener le calcul à l'intégration d'une équation du deuxième ordre.

Si V renfermait une seconde fonction z et ses dérivées z et z\ oli obtiendrait de même

(17) V= Nr'-h Pr"— /'— -i- JSV 4- PV — 3' -^ 4- C. ^ " ax ax

Cas particulier où ion ne considère que les différentielles

du premier ordre.

193. Appliquons cette théorie au cas simple où la fonction V renfermerait trois variables or^j^ z, et les premières dérivées seulement dejeiz»

L'intégrale proposée sera

' /(•^>-7> z,/' z')cix, OU

1". S'il n'existe auctinc équation générale entre a;, ^, r, on fera usage des équations (14)9 et Ton aura

a46 COURS ii'anal\sk.

pn supposant toujours

Ces deux équations simultanées , étant du second ordre , donneront j et z en fonction de x et de quatre constantes arbitraires.

Si les deux limites sont indépendantes , on aura pour chacune

(19) (V — Ny' — N'a') ^x 4- My h- IN'^z = o.

Si pcair Tune d'elles il n'existe aucune condition , dx^ dj^ âz étant indépendants , leurs coefficients doivent être nuls séparément , ce qui donne trois équations entre les valeurs de x^ y^ ^•> J'ï ^' relatives à cette limite. Si, au contraire, à cette même limite, x^y^ z devaient satisfaire à unç équation donnée ^{x^y^ z) = o, on aurait

''t j^ + ^ *, + !^ fe = 0.

dx dy dz

Eliminant àz entre cette équation et (19), il ne resterait plus que les indéterminées àx^ dy dont on égalerait sépa-r rément les coefficients à zéro. On aurait donc encore trois équations entre les valeurs de x, y^ -2, y', z' relatives à cette limite. On agirait de la même manière si Ton avait une seconde équation.

Actuellement il est facile de déterminer les constantes arbitraires introduites par l'intégration; car les équations obtenues entre x, y, z , et ces quatre constantes devant être satisfaites par Jr,,yi, Zj, et parxs,j^j, Zj, il en résultera deux équations pour chaque limite. Ainsi , pour chacune d'elles, on aura cinq équations entre les valeurs de x^y^ z qui s'y rapportent et les quatre constantes; on pourra donc déterminer ces constantes et les valeurs de jr, j, z, relatives aux limites.

" 2°, Si ies variables x^ j^ z sont tenues de satisfaire à une équation F (a:, j', z) = o, il faudra faire usage de la formule (i5)^ qui devient, dans ce casi,

> Eliminant z au moyen de l'équation V(x^ y^ z) == o, on

aura une équation du second ordre entre x et y. En Tintégrant^ on connaîtra j^, et, par suite, z^ en fonction de x et de deux constantes arbitraires.

Les valeui^ de x^-, y^ ^i^ ^t^Jt^i ^t^ se détermineront comme dans le cas précédent, en observant qu'elles doivent satisfaire à l'équation F(x, y, z) = o. On aura alors quatre équations pour chaque limite. Les deux constantes arbitraires se déduiront de ces équations, ainsi que les valeurs de x, j", z relatives aux limites.

application à quelques problèmes particuliers,

194. Ligne de longueur minimum, — Considérons d'abord le cas où l'on ne donne pas de condition générale entre les coordonnées a:, jj z des divers points de cette ligne, c'est-à-dire où elle n'est pas assujettie à se trouver sur une surface donnée.

L'intégrale qui doit être minimum est

Jl dx ^*\

on a donc

V = V'i 4-j''^-hi'' = ;T-î M=::0, M' = O,

y' dr ^. s' dz

H^S COUaS D^ ANALYSE,

Les équatious (i8) deviennent

dx ' flx

N et N' sont donc constants, et, par suite, j^' et z'. Soient

on en déduit

j = Gr -I- </, 2 = Cx -h d'.

Ainsi ^ quelles que soient les conditions relatives aux extrémités, on trouve , comme on devait s'y attendre ,. les équations d'une ligne droite.

L'équation (19), qui doit avoir lieu pour chaque extrémité, devient

dxSx -\- djrSy -\- dz$z = o.

Or il y a trois cas à examiner pour chaque extrémité : 1**. Si l'extrémité (0:1, j-,, z^) est fixe, on a

. dxi = o , ^, = o , ^3, = o ;

ses coordonnées Xi^yi^ z^ sont données, et les constantes C^Gj d, d' devront satisfaire aux deux conditions

jr, =r O, -h d, z, = Cxi -hd\

2**. Si cette extrémité satisfait à une équation F(x^y^ ^)=^>

on aura

dF . dF ^ dF .

ilx dy dz

Eliminant dzi entre l'équalion (19) et celle-ci, puis égalant à zéro les coefficients de âx^ et c^i , on obtient

dF ,dF ,dF ,dF „ , dF ,dF

-r- = 2'— -, j'-— rrz'— -, d'où ---=jr'--, dz dx dt, dy dy dx

dz dx dy dx

équations dans lesquelles a:, y^ z sont remplacés par

Ces deux équations seront jointes à Y{x^^y.^^ z^) = o, et aux deux suivantes :

j, = Cjc, 4- d, 3, = C'a:, -f- rf'.

On aura ainsi cinq équations entre a:i,j^i, z^ et les quatre constantes. ,

3^. Si Ton donnait deux équations entre o^i, j"i, Zj, on arriverait de même à cinq équations entre elles, et les constantes.

Ainsi, pour chaque extrémité, soit libre , soit assujettie à une ou deux conditions , on trouve toujours deux équations entre les constantes, ou directement , ou par l'élimination de^i, j^i, ^1. Donc les quatre constantes pourront toujours être déterminées par les conditions relatives aux deux limites.

195. L'équation (a) renferme une propriété géométrique remarquable de la, ligne minimum. En effet , elle exprime que la direction qui fait , avec les axes, des angles dont les cosinus sont proportionnels à dx^ dj^ dz , est perpendiculaire à celle dont les cosinus sont proportionnels à dx^ Sy^ Sz, D'où il résulte que la tangente à la ligne cberchéj , menée par l'une quelconque de ses extrémités , est perpendiculaire à toutes les directions suivant lesquelles cette extréniité peut se mouvoir. Elle est donc normale à la courbe ou à la surface sur laquelle doit rester cette extrémité, si elle n'est pas fixe de position.

196. Supposons maintenant que la ligne cherchée soit assujettie à se trouver sur une surface donnée , ayant pour

équation

a5o COURS U^ANALtSt.

il faudra ) dans ce cas, satisfaire a Téquation (20), qui se réduit à

d¥d^^dFd1!V ^d ^ — — l ^

dz dx djr dx dz * ds dy ' ds

Cette équation du second ordre , jointe à la précédente ^ donnera y et ^ en fonction de x et de deux constantes arbitraires.

L'équation (19) aura lieu pour chaque limite, et démontre encore que, si elles ne sont pas fixes, la courbe cherchée est perpendiculaire aux courbes suivant lesquelles elles peuvent se mouvoir sur la surface donnée. Dans Tun et Tautre cas , les constantes se déterminent par les moyens déjà indiqués.

Ivl, L équation -; — 7-- = ------- lait connaître une

^ dz ds^ dy ds^

propriété remarquable de la ligne minimum. En eifet, la

droite qui joint un quelconque de ses points au centre de

courbure fait, avec les axes, des angles dont les cosinus sont

proportionnels a -— » -jj-^ — ^ et les cosinus relatifs a la

normale à la surface sont proportionnels à -r- 5 -7- > -7- •

^ * dx dy dz

Or Téquation précédente donne

ds'

=" rfF'

et il est facile de voii; que ces rapports sont aussi égaux i d'x

ds^

-T^\ car la symétrie des données relativement à x^j^ z

SECONDE PAaTlK. 25l

montre qu'en dirigeant autrement le calcul, on aurait trouvé ce dernier rapport égal à l'un des deux autres.

C'est 5 au reste , ce qu'on peut facilement vérifier.

En effet, les équations (b) donnent

d^f ds'

ds^

d^X dy ^ d-z dz ds^ ds ' ds^ ds

d^x ds'

■" dF

~ ^F dy dF dz

^ dF'

dy ds dz ds

comme nous l'avions annoncé; la direction de la normale à la surface se confond donc avec celle de la droite menée du même point au centre de courbure de la ligne minimum. En d'autres termes, le plan osculateur de cette courbe est constamment normal à la surface.

.198. Aire de rwolution minimum, — Proposons-nous de trouver la courbe plane passant par deux points donnés, et qui engendre une aire minimum, en tournant autour d'un axe AX situé dans son plan.

minimum; et x

L'intégrale I y ^dx* + ^ * devra être mini

n'entrant pas sous le signe y, il est convenable d'appliquer les équations ( 1 6) ou ( x 7) . En prenant les premières, et observant que L, N, P,... sont nuls, on trouvera, en désignant par c une constante arbitraire, ^

ydx

M=zCy ou — = r-j

sjdx'^'^dy^ d'où l'on tire

et, en intégrant.

l = ,.(^l±^^lll£'), y + siF:r^^ce ' ,

252 COUAS d'analyse.

d'où

équation d'une chaînette dont les branches infinies s'élèvent au-dessus de Taxe des x, la direction de la pesanteur étant supposée perpendiculaire à cet axe.

Les constantes c , Ci se détermineront en exprimant que l'équation est satisfaite par les coordonnées des points donnés. Si Ton considère le cas le plus simple, où les ordonnées de ces points sont égales , 1^ courbe sera symétrique par rapport à la perpendiculaire à l'axe , menée à égale distance de ces deux points. Soient a et — a leurs abscisses respectives , et b leur ordonnée , ou aura d'aboi'd Cl = o pour que l'équation ne change pas quand on remplace X par — X 5 puis

=iG'-^^"')'

ce qui détermine c.

Si l'on pose - = m, on a — = J (e"-|-e~"*), et Ton con-

naîtra u par l'intersection de la droite y = — et de la

chaînette j^ = |(e" + e*""); la valeur de c s'ensuivra.

199. Il n'est pas toujours possible de satisfaire à l'équation

ab e" -f- e'

En effet, le second membre est infini pour z*= o et u= QO] dans l'intervalle , il reste fini et positif : il a donc

un minimum, et le problème serait impossible si — était

2b moindre. Cherchons donc la valeur de — relative à ce

SECONDE PAjaTIE. ^53

minimum : il y aura une seule solution si l'on donne —

égal à cette valeur; deux, s'il est plus grand 5 et aucune, s'il est plus petit.

La valeur de u relative à ce minimum satisfait à

Si l'on éliminait u entre cette équation et la précédente, on aurait 1 équation qui doit déterminer la plus petite

valeur que - puisse avoir pour que le problème soit pos-

sîble.

Si l'on observe qu'on a identiquement

(V — é?-«)» = (^ -I- tf-")» — 4 /

la dernière équation peut se mettre sous la forme

u d'où résulte

et, par suite,

ib / u^ u' \

d'où

Si Ton néglige t dans le second membre, il devient trop

254 cmms n*ANAi.vsK.

petit; ainsi

->-iH « -f- E "+"•••• i

La réciproque de cette valeur est donc plus grande que

^•, et si on la substitue dans le second membre, il défi»

vient trop grand et donne une limite supérieure de —

Il en résuite une valeur trop grande pour r; et, en continuant ainsi , Ton aura une série de valeurs alternative-

ment plus grandes et plus petites que -? et qui s'en rapprocheront indéfiniment. On trouvera ainsi

Il faut donc que -le rapport - soit au moins égal à

1,19967 pour qu'il y ait une courbe qui engendre une aire minimum ; et Ton concevra la possibilité qu'il n^en existe pas , si Ton observe que , lorsque la courbe coupera Taxe, les ordonnées deviendront négatives, et l'intégrale décroîtra indéfiniment.

Si Ton a - )> 1 9 19967, on a deux solutions \ mais elles

ne peuvent donner deux mini ma , car il devrait y avoir un maximum intermédiaire, ce qui exigerait trois solu* tions. Elles ne peuvent non plus donner deux maxima ; elles donnent donc un maximum et un minimum. L'intégrale diminuant jusqu^à Pinfini négatif, on voit que le maximum correspondra à la chaînette qui aura son sommet le plus bas , et le minimum à celle dont le sommet sera le plus élevé. Cette dernière correspond à la plus grande des deux valeui^ de c^ puisque l'équation de la

j. SECONDS PAETIE. a55

courbe est

et qu'en faisant x = o, on trouve c pour ordonnée du sommet.

200. Maximum de Voire, de courbes îsopérîmètres . — Supposons que les extrémités de la courbe soient données, et aient pour coordonnées* .ri,j^i et Xt , j^j -, l'intégrale qu'il faut rendre maximum est i ydx^ et Ton

doit avoir, en désignant par / la longueur donnée de la courbe ,

Jx,

On posera , diaprés la règle du maximum relatif,

X n'entrant pas soua le signe /, on appliquera l'équation ( 1 7), et l'on trouvera

d'où

(r — ^)v^" •+• r''^a=rO;

Va» - u - cy '

et enfin

{y — ^Y -h (^ — c')' = aS c et c désigna ut deux i on s tan les arbitraires. La courbe est

256 couas d'ahalyse.

donc un arc de cercle 5 et il reste à trouver les constantes a^ c^ c. On exprimera d'abord qu'il passe par les deux points extrêmes donnes M, N {fig, 5) , ce qui donnera

{x, — cy + [Xy — </Y = a%

{x, — cf -+- {y, — f')» = a»; d'où

x\ — x', — 2c(x. — ar,) -4- jî — y\ — 2c'( j, — /,) = 0,

équation qui exprime que le centre se trouve sur la perpendiculaire élevée sur le milieu de la droite qui joint les extrémités.

Soit d la longueur donnée de cette droite , on aura

a = 2a sin — ?

équation qui détermine a 5 c et c' s'ensuivront, et l'on trouvera deux cercles dont les centres O, O' seront symétriques par rapport à la corde donnée. L'un se rapportera au maximum, Tautre au minimum : car les deux aires sont respectivement égales au trapèze MPQN , augmenté ou diminué de la même quantité MRN 5 donc , si l'une est maximum, l'autre est minimum. On en conclut encore que cette surface MRN est maximum \ et si la question a pour objet l'aire comprise entre la corde donnée et l'arc , elle n'est susceptible que d'un maximum , et il est déterminé par l'arc de cercle dont la corde et la longueur sont connues.

Si la grandeur de l'arc et la direction des axes étaient telles que le segment MRN fut coupé par les ordonnées extrêmes, cette dernière proposition n'en serait pas moins vraie: car, si l'on suppose la courbe déterminée, on peut y tracer d'une infinité de manières une corde telle que , pour un sysjtème d'axes convenable, on rentre dans le cas précédent. Or, l'aire totale étant maximum, ce segment

le sera de même en laissant son périmètie constant; donc il est terminé par un arc de cercle : ce qui ne saurait être pour toutes les cordes qu'on peut ainsi concevoir, si la courbe entière n'est pas un arc de cercle. Si les deux points M et N se confondent , on a le cas d'une courbe fermée, et l'on voit qu'elle doit former un cercle entier.

201 . Maximum de la surface engendrée par la réi^o-' lution de courbes isopérim êtres, — Il faut, dans ce cas, que

i ydx sji +j^'* soit maximum , en même temps que

Jdx ^i + y* = l'^ on devra donc poser

Le calcul sera le même que dans le cas déjà traité, où l'on ne donne pas la longueur de la courbe. Seulement y •+- a est substitué ky. On trouvera donc

La courbe est encore une chaînette. Les trois constantes , a , c , Cl , se détermineront en exprimant que la courbe passe par les deux points donnés , et que sa longueur est /.

202. On démontre en statique que la chaînette est, de toutes les courbes isopérimètres, celle dont le centre de gravité est le plus bas possible. En admettant cette propriété , on aurait pu conclure que la courbe qui engendre l'aire minimum est une chaînette dont la convexité est a* édU. 1 7

tournée vers Taxe, et que celle qui engenclpe l'aire maximum est celle qu'on obtiendrait en supposant Faction de la pesanteur dirigée en sens contraire.

203. Solide minimum engendré par la révolution de courbes isopérimètres, — Soit / la longueur d'une courbe qui passe par deux points donnés ^ et tourne autour d'un axe situé dans son plan ] le solide engendré aura pour expression / Try*dx. Ainsi i j^'Jj: devra être mini avec la condition

minimum,

dx ^1 -h y = /.

On devra donc poser

et la condition du minimum sera , en appliquant la formule (17),

( J' — ^) \^' -+- y -h a = o ; d'où Ion tire

dx =

Cette équation est celle de la courbe nommée élastique, qui représente la figure d'un ressort en équilibre sous l'action de certaines forces. On ne peut l'intégrer que par série. Les deux constantes a et c, ainsi que celle qu'întroduirait l'intégration , se détermineraient en exprimant que la courbe passe par les deux points donnés , et que sa longueur est /.

SECONDE PAUTIE. aSo

204. Brachîstochrone. — On nomme ainsi la courbe que doit suivre un corps pesant, pour descendre d'un point à un autre dans le moindre lemps possible. En désignant par g la pesanteur, on a

en désignant par x les ordonnées comptées verticalement, en sens inverse de la pesanteur, et par Xi celle du point le plus élevé. On tire de là

I ds

dt =

sf^ six, — X

et , pour satisfaire à la condition donnée , il faudra que

Je* ds . . .