I -== soit minimum ,ou que l'intégrale X, V^i — X
négative 1 ^^Kl — — IZ ^** maximum 5 ce qui
donne d'abord les équations
\JXx X ^ ^X, — X ^^
d'où
dy c c „
dz c c
Cette équation montre que la courbe est comprise dans un plan vertical. Prenons ce plan pour plan des XGly\i\ est connu, puisqu'il renferme les deux points donnés. On a alors ^ = o, et il ne reste que l'équation
a6o COURS d\nalysi.
Si Ton change Xi — xen x, cette équation devient
dx =. eix
ce qui s'intégrera facilement.
Cette courbe est une cycloïde dont nous allons reconnaître la position.
B et C (Jig' 6) étant les deux points donnés , la transformation que nous avons faite revient à prendi'e l'origine en B , et Taxe des x dans la direction de la pesanteur. Dans ce système d'axes, une cycloïde dont la base serait BY et l'origine en B, aurait pour équation différentielle
y 2fl — .1
djr = dx\l '^ 9
a étant le rayon du cercle générateur.
La courbe cherchée est donc une cycloïde dont la base
est BY, le diamètre du cercle générateur - -, et dont l'une
des extrémités de la base est B.
La constante c se déterminera en exprimant que l'équation finie de la cycloïde est satisfaite par les coordonnées du point C.
205. Supposons maintenant que les deux points extrêmes, au lieu d'être fixes, soient assujettis à se trouver sur des courbes données. On parviendrait, comme dans le
premier cas, à l'équation r = - >2^ + c\ qui prouve que la
courbe est encore située dans un plan .vertical. Ce plan est inconnu , mais Téquation de la courbe, rapportée à des axes pris dans ce plan , n'en aurait pas moins la forme déjà trouvée 5 d'où Ton conclut que cette courbe est une cycloïde dont la base est horizontale et dont l'origine est
au point de départ. Tout se réduit à trouver les coordonnées des deux points extrêmes et le rayon du cercle générateur. Les deux limites .étant indépendantes Tune de l'autre, on devra avoir, pour la première, l'équation
(a)\ i '^£Ùr — (V — N/--]NV)ba:. — Niîr. — N'^«, = 0. Dans le cas actuel , on a
ds r/V — Wl -h y'^ + z'^ ^
' (j?, — xy 2(0?, — x^Y
L'équation (a) deviendra donc
— c8yi — c'^Zx )
L'intégration par parties donne
= — V -^cy -h c'*'.
Il faut , dans cette dernière quantité , substituer à x suc-
262 Gouas d'analyse.
cessivement x^ et Xi, et retrancher le second résultat du
premier. Pour éviter la difficulté relative au facteur
(xi — x) * , qui devient infini , nous prendrons d'abord une limite différente de Xi , et nous opérerons les réductions; puis nous passerons à la limite x^. Les trois termes V — ey' — c'z\ relatifs a cette limite qui tend vers Xi 5 seront détruits identiquement , et il restera enfin Téquation
(b) (— V 4- cf' 4- cV), Sx^ — c^Ti — c'Sz, = o.
En substituant les valeurs de V, c, c\ on trouve
y-^cy -h c'z' =
et l'équation (i) devient
dxi Sxi -h dy2 fyi -+• dz-i ^2, z=z o.
Elle exprime que le dernier élément de la cowbe cherchée est perpendiculaire à la direction de la tangente à la première courbe donnée, au point de départ. L'équation relative à la seconde limite est
(V — N/ — Wz% Sx, -h ^Sy, + WSz, = o , ou
dx2 Sx2 -f- dfi fyi -^ dzzSzi = Of
ce qui montre que le dernier élément de la cjclo'ide est perpendiculaire à la tangente à la seconde courbe don-née y au point d'arrii^ée.
Ces diverses conditions déterminent la cycloïde dont le premier élément est toujours vertical, et la base horizontale.
Si les deux courbes étaient dans un même plan vertical , les propriétés que nous venons de démontrer prouveraient que les tangentes aux courbes données, aux points de départ et d'arrivée, sont parallèles entre elles.
Calcul des différences finies.
206. On appelle dillërence d'une variable , l'accroissement fini qu'elle reçoit. Les différences des fonctions sont déterminées par celles des variables dont elles dép^ident : on les désigne toutes indistinctement par la caractéristique A.
La différence entre les deux valeurs que prend une fonction quand la variable dont elle dépend prend deux valeurs successives , se nomme la différence première de cette fonction. Cette' différence est, en général , une fonction de la même variable \ et sa différence première, correspondante à un nouvel accroissement égal de cette variable, se nomme la différence seconde de la fonction. La différence de la différence seconde est la différence troisième de la fonction; et ainsi de suite. Si Ton désigne par u cette fonction , ses différences successives sont représentées par
207. Supposons généralement que la différence Ax soit une fonction déterminée ^(a:) , et soient
les valeurs successives qui en résultent pour la variable x ; de telle sorte que l'on ait
a:, = or -f- Ax, X2 = a\ -f- Ao?, , x^ z= x^ -h Axa, . . . ,
équations qui pourront encore s'écrire de la manière suivante :
Xi =: X -+- Aj7,
jc, = X -4- Ax 4- Aj;, ,
.r3 z=z X -h £^ -h Ao?! -\- AoTj,
Xm^i =r a: 4- Aj? -4- Aor, -f- • . • -f- àx^-ii x„ = j: H- A.r -f- A.r, -f- . . . -+- Aj7,;,, .
264 cou AS D*A1?ALTSE.
Toutes ces expressions peuvent être considérées comme dépendant uniquement de la première valeur arbitraire x \ car Ax étant une fonction de j:, oti ou x H- Ax l'est de même. Axi ou J\Xi) est donc aussi fonction de x seulement , et par suite aussi x^ , qui est égal à x+Ax-^Axi, De même, ùkx^ o\if{Xf) sera fonction de x seulement, et par suite aussi x^ ; et ainsi des autres indéfiniment.
Il est encore utile d'observer que chacune de ces valeurs successives peut se former de la précédente, en y changeant x en x + Ax. En effet, supposons qu'il en soit ainsi jusqu'à x^^i inclusivement, et changeons x en x+Ax dans a:«i : son premier terme x devient x+ÙX] son second terme Ax devient Axi ^ son troisième Axi devient Ara , et enfin son dernier devient Ar,„i 5 par conséquent, x^^i se trouvera changé en x,n. La proposition est donc générale , puisqu'elle est vraie pour Xi . Si maintenant on considère une fonction quelconque m =3 (f(x)^ et que l'on désigne par
les valeurs correspondantes à x, Xi , . . . , a:,„, chacune de ces valeurs successives de u pourra être considérée comme fonction de x seulement, et se déduira de la précédente en y changeant x en x+ Ax] car, puisque l'on a généralement
et que x^ ne dépend que de x, et s'obtient en changeant xen x+ Ax dans x,„î , ii,n sera aussi fonction de x seul , et se déduira évidemment de m,„, par ce même change^ ment.
208. D'après la définition que nous avons donnée des différences successives , la seconde différence A*m sera l'accroissement que prendra Am quand on y changera x en X + Ax ^ la troisième différence A'a sera l'accroisse-
ment de A'm résultant du même accroissement Ar, que l'on y fera subir à j:^ et ainsi de suite.
De même, Ai/j étant l'accroissement de Ui relatif à l'accroissement Axi donné à jTi, A*z/i sera l'accroissement de Aui quand on y fera croître Xi de Ax^ ^ et de même pour les différences suivantes. On voit donc que les différences successives de Ui seront les mêmes fonctions de Xi que celles de u le sont de a:; et il en sera de même pour les différences de m,, i/s,..., «,«9 etc. Il résulte de là que toutes les différences de i/,„ s'obtiendraient en changeant x,n-\ en x„^ dans les différences correspondantes de m,„i ; et , comme on a vu que ce changement s'opère eu substituant X •+- Ar à X lorsque l'on considère x,„i comme exprimé en fonction de x, il s'ensuit que les différences d'un même ordre quelconque des quantités
il y Uif U2 ) • • • 9 ^m—ï > ^
my
se déduisent chacune de la précédente, en y changeante: en jc + Ar . On observera encore que, pour obtenir A"Mp, c'est-à-dire l'accroissement de A"~*Wp, dans lequel on change Xp en Xp + AXp, il suffit de prendre l'accroissement que prend A"~*Mp considéré comme fonction de x^ dans lequel on changera x en x + Ax,
Ces propriétés appartiennent aux différences successives de x^ comme à celles de la fonction quelconque u.
209. U est facile d'exprimer la différence A"*u au moyen des m 4- I valeurs z^ , z/] , 1/2 , . . . , ï/,„.
En effet , on a d'abord
Pour obtenir A'ii, il faut, dans l'expression de A«, changer X enx -}- Ax, et prendre l'accroissement résultant. Cette substitution changeant respectivement Ui et u en u.
266 COUaS l/ ANALYSE.
et i/j, ou trouvera
De même A'm sera raccroîssement de l'expression de
A'm , dans laquelle on changera x en x + Ax^ et Ton
aura
à?u = «3 — 3 «2 -h 3iii — u.
On voît jusqu'ici que les indices de u décroissent d'une unité, depuis l'ordre de la différence jusqu'à zéro ; que les coefficients sont alternativement positifs ou négatifs , et sont égaux à ceux de la puissance de même ordre d'un binôme^ Or, la manière dont on passe d'une différence à la suivante prouve que cette loi est générale. En effet , si l'on a
A"U Z=: Un Aia„-i -h A.2lln~2 — • • •
i~ "-p^n—p "~" A.p^.iUn—p — I -+" • • • )
la différence suivante sera
Un—\ — . . . — Ap+i
— An
^^Hm-p
La loi des indices de u est donc la même pour cette différence , et les coefficients se forment de ceux de la pré- . cédente, en ajoutant, en valeur absolue,' chacun d'eux à celui qui le précède : donc , si , pour une différence , ces coefficients sont ceux de la puissance du même ordre d'un binôme, tel que a — S, ils seront soumis à la même loi pour la différence suivante. Donc cette loi est générale, puisqu'elle a été reconnue pour la seconde différence. On a donc , quel que soit m ,
(i) A*"/* = w„ — wWfl,, H ^ Uni-2 ~ . . . ± w :
te dernier terme sera positif si m est pair, et négatif dans le cas contraire.
on aura
Un = U "{- Al
Att-f-Aa
ti^u ■+- .
210. Réciproquement, on peut exprimer u,n au moyen de u et des m différences ùu^ A'u, . . . , ùf^u. En efiet, on a
tti = it + An 9 «2 = a -f- 2 Aa 4- A*a, ... ;
et , comme on a , en général ,
Un = M„, + Aw„, ,
on voit que 9 si Ton a
Un-i = a -H A,Aa + AjA'a -f-. . .
-h ApùiPu -f- A^^.,A/'+'w + . . . ,
Donc , si les coefficients des termes de i/„.i sont ceux du développement de (a + S)""*, les coefficients des termes de Un seront ceux de (ce + ê)" : quant aux indices des différences, ils croîtront de même depuis ô jusqu'à fi. Or ces lois ont lieu pour u^ ; donc elles sont générales, et l'on a
(2) u„ = u -^ mtiu H ^ A*a -f- . . . H- A^m.
L'analogie entre les seconds membres des équations (i) et (2), et le développement de la puissance /wd'un binôme, permet de les remplacer par les équations symboliques très-simples
^'"a = (u^ i)"", tf;„ =r (i -4- Att)*,
dans lesquelles il faut entendre que les exposants des puissances de u et Au sont remplacés par des indices.
211. Differentiation des fonctions, — La différence première d'une fonction n = ¥{x) est Y(x + ^x) — F(j:). Voyons ce que devient celte difterencc et celle des ordres
268 GOUHS d'analyse.
suivants , quand on prend pour F(^) les fonctions simples x^^ a', log»r, sinox, cosflor, et que l'on suppose Ax constant.
Soit d'abord u = k.x^\ m étant positif, on aura
= A maf'-'^x H- ^—^ — Ajp^ -f- . . . + ^x^ h
La première différence d'un monôme est donc d'un degré moindre d'une unité 5 et il en est de même d'un polynôme quelconque , puisque la différence d'une somme est la somme des différences.
Il résulte de là que la différence m'^"'* d'un polynôme entier du" degré m est indépendante de x. Soit , par exemple ,
pour la trouver, il suffira , dans chaque différence successive, de considérer le terme du degré le plus élevé : car les termes fournis par les autres disparaîtront, au plus lard , à la dernière différentiation \ donc ils ne changeront en rien le résultat. D n'est donc nécessaire de calculer que la différence m**"*'' de kx"^.
Sa première différence a , pour premier terme ,
et nous négligerons tous les suivants dont le degré est moindre. La différence de ce premier terme, dans lequel nous supposons Ax constant , a , pour premier terme ,
km {m — i)x^''^^x^y
et nous négligerons encore les suivants.
En continuant ainsi , l'on arrive évidemment à
^'"u = A/w [m — 1 ) (''' — 2) ... 2 . 1 Aot".
La différence /w*'"" étant constante , quel que soit x, les différences d'ordres plus élevés seront nulles.
212. Si l'on considère le produit de n facteurs, croissant par degrés égaux à Ax ,
u = X ( JC -f- àx) (x H- 2 àx) ... [x -h {n — I ) Ao;] ,
on trouvera immédiatement
Au = (x -h Aj?) (x -h 2 A^p). . . [a: -4- (/i — i) Ajr]«Ax, A'a = (jr -f- 2Aa:). . . [a: + (/i — i)àx]n{n — ijAx»,
A"a z= n(n — i) . ..2.1 àx^.
Toutes les différences suivantes sont nulles. Si l'on avait
x(x -h Ax). . . [a? -f- (w — i)Ajr] on trouverait
— nàx
Atf = —7 r 7 r?
X (o? -f- Aj:) . . . (x h- /? AxJ
^,^. /?(/!+ i)Ajr»
a:(j? 4- Aor). . . [j; H- (/î -H i)Aa:]
— «(/i -h 1) (/2-f-2)Ajr»
ar(ar H- Aar) . . . [j? + (/i + 2) Ax]
et ainsi de suite indéfiniment.
