Soit
u = sin(tf^ ^^ ^)y
Aa = sin(<iar 4- «Aar -f- ^) — ^(ax -H ^}
(aAx ,\ ax H h ^ ) •
Si M = cos(aa: + i), on aura
Ait = cos(a:c'-f- aàx -f- ^) — cos(âfâ? 4- b)
. ûAj? . / aAjc \
= — 2 sm -^37- sm ( âur H f- ^ }•
iiAjc
= 2sin cosl^o?
SKCOIV06 PARTIS. 271
Au moyen de ces deux formules , on obtiendra
et , en général ,
(aùkx\^ sin ) s\n{ax -h ruttix -4- A),
sin — ^ I cos[ax-4-(^-^T)«^-^^];
les signes supérieurs devant être pris lorsque n est pair, et les signes inférieurs quand n est impair.
On ferait un calcul semblable pour cosax.
217. La différence m*''"*A"*i« peut s'exprimer généralement au moyen des dérivées de u. On peut aussi la repré^ senter par une formule symbolique très-simple.
On a d'abord
du d^u A<r*
Att = -j-ùix -h -r-r h . . . •
dx dar 1.3
Si l'on change u en Am , on aura A*w , et il est facile de voir qu'aucun terme ne renfermera une dérivée d'ordre inférieur' au second. En continuant ainsi, on reconnaît que Ù!^u sera de la forme suivante :
^"'u = A -r— ^x^ -h A, -r-rrr Aa:""*"' -f- . . . ,
les coefficients A , Ai , . . . étant indépendants de la forme de la fonction u.
Pour les déterminer, posons u = e*^, l'équation deviendra, en supprimant le facteur e^,
{e^ — i)" = Aàx^ -f- A.Ax-^' 4- ... ; et, comme ùx est indéterminé, les coefficients des mêmes
2^2 COURS D^NALYSC.
puissances devront être égaux dans les deux membres ; on connaîtra donc A , Ai , . . . .
La valeur de A"^u peut se représenter par une formule symbolique, en observant que le second membre de la dernière équation se changerait dans la valeur de A'"u si
Ton substituait — Ax à Ax, et que , dans les puissances
de—, l'exposant du numérateur fut changé en indice de différentiation. On aura donc, dans ce sens,
218. Lorsqu'on sait trouver la différence de deux fonctions, il est facile de trouver celle de leur produit, ou de leur quotient , au moyen des formules
ùi(utf) = vLu -h u^v -f- AmAp,
u v^u — aAc
Si l'on considérait les produits de plus de deux facteurs , la formule se compliquerait rapidement. Dans le cas où ils seraient égaux , on trouverait immédiatement
Afw") = ««"-'Am -f- ^^'^ ' "~ ^^ «"-^Aw^ -f- . . . -f- Aa".
Calcul inverse des différences.
219. L'objet qu'on se propose dansée calcul est de remonter de la différence d'une fonction à cette fonction même; ou, plus généralement, de déterminer une fonction quand on connaît une relation entre elle , ses différences d'ordre quelconque et la variable indépendante.
La différence d'une quantité indépendante de la variable
étant zëro, il s'ensuit que, lorsqu'on aura trouvé une fonction d'après une différence donnée , on pourra lui ajouter une constante arbitraire, et l'on aura une solution plus générale de la question. Mais ce ne serait pas la plus générale, comme dans le calcul infinitésimal ^ et, pour l'obtenir, il faudrait ajouter à la fonction trouvée la fonction la plus générale ayant pour différence zéro.
Or, si l'on donne à x l'accroissement Ajc, toute fonction périodique de x ayant Ax pour période prendra un accroissement nul , à partir d'une valeur quelconque de x ; et, réciproquement, il n'y a qu'une pareille fonction qui soit dans ce cas pour toute valeur de x. On voit donc que, lorsqu'on donne l'expression de la différence d'une fonction de x^ relative à la différence Aj: de cette variable, il suffira de connaître une fonction particulière qui satisfasse à la question \ et l'on obtiendra la solution la plus générale en lui ajoutant une fonction périodique arbitraire, ayant pour période la différence donnée Ar.
On sait que toute fonction périodique peut être représentée par une série convergente , dont le terme de rang » -f- I a la forme
. 2/i7rx inizx An sin — h B„ CCS — — î
/ étant la grandeur de la période. On voit donc que, dans le problème inverse des différences, la constante arbitraire sera remplacée par une série dont le premier terme sera constant, et le terme de rang 7^ 4- i ,
. 2mvx ^ T-finx
An sin h B„ cos —
A.r àx
C'est là ce que nous désignerons , pour abréger, sous la dénomination de constante arbitraire.
Nous représenterons par 2i/ la fonction générale dont
2« ('dit. i8
2^4 cou AS d'aNALYSB
la difTéreuce première çsit u\ par £'<<, celle dout la difierençe seconde est u , et aiusi de suite.
220. Si l'on considère une valeur quelconque Xn de la variable et une autre valeur x telle que Xn = x + nâuTj n étant un nombre entier quelconque, il est facile d'exprimer raccroissement que prend la fonction F(x) dont la diiférence est u , lorsque la variable passe de x à x,, ^ car il est la somme dea accroissements correspondants
aux valeurs or, x-f- Ax,.»-? J^ + (» — 0^> ^^ ^ ^^^~ leur est, par conséquent,
on a doue
La fonction F (x), dont la différence est u , peut être considérée comme renfermant une constante arbitraire, ou plutôt comme étant elle-même une constante arbitraire , si Ton particularise la valeur :r.
Si on la désigne par C , et qu'on représente par Si/„ la fonction la plus générale qUî a pour différence m„, on aura la formule suivante :
221 . U est nécessaire d'observer que la fonction périodique qui entre dans C devra être traitée comme une quantité indépendante de x, dans les intégrations. En effet, supposons qu'on cherche la fonction la plus générale dont la différence soit la fonction ^, dont la période est Ax. Si l'on considère une valeur quelconque de or, et toutes celles qui en diffèrent d'un multiple quelconque de Ax, les valeurs correspondantes de la fonction cherchée sej^ont les mêmes que si (f était remplacée par une constante égale à sa valeur relative à la première valeur de z. Donc, en traitant <p comm^ on traiterait une quan-
SECOHOE PARTIE. 2^5
tité indépendante de j:, on aura la fonction dont la différence est f •
On peut d'ailleurs le vérifier bien facilement. En effet , la fonction dont la différence est une quantité a ^ indé-
pendante de x, est — + C, C désignant une constante
arbitraire dans le sens déjà défini.
Or la différence de î^— est cp : donc ^^ •+- C sera la
fonction la plus générale ayant pour différence <f\ et comme elle ne diflère de la précédente que par le changement de a en f , il s'ensuit que ces fonctions périodiques doivent être traitées dans les intégrations comme les constantes proprement dites.
Intégration des Jonctions,
222» Nous commencerons par faire observer que tout facteur constant peut être placé indifféremment sous le signe S 9 ou en dehors ^ et que l'intégrale £ d'une somme est la somme des intégrales des parties qui la'cmnposent.
Cherchons d'abord l'intégrale de je^^ e'eet-à-dîre la fonction, qui croît de x^ quand oii y donne à x l'accroissement Ax, et que nous désignons par Sâf*^; pour cela , remarquons que Ton a
prenons maintenant l'intégrale de chaque membre, et considérons la constante arbitraire comme renfermée dans les sommes indiquées *, nous obtiendrons
(m -h i)/wf/iî — i) , ,
d'où
X*"*"' mtkx
f ^ I (/» + 1 ) Aj: 1.2
m {m — 1 ) ^x^ , Aj:"
Si l'on donne successivement à m les valeurs o, i , 2 , etc. 5 on obtient , en désignant par C une constante arbitraire ,
,-, , ' - 3ÂÏ" ~ ^"^ "^ 6" * "*■ ^'
Connaissant 2x~, on pourra déterminer S'jc"* en cherchant^ d'après les formules précédentes, l'intégrale de chacune des parties de 2.r", et ajoutant ensuite une constante arbitraire. On trouvera ainsi S'a:*, 2*x", etc. , et à chaque intégration il s'introduira une nouvelle constante arbitraire.
223; Nous avons obtenu précédemment la formule
A[x{a? -+- Ax)...(x -+- nàx)]
= (x -+- Aj?) (x -+- 2Ax).. . (x -h /î Ax) (rt -t- i)ax; donc
^(x -h Ax) (x -4- 2Ax). . .(x -+. /jAx)
SECONDE PABTIE. a<J^
Nous avons encore trouvé
|d:(a:4- Aor). . .{x + nAx)] r(a:-h Ax).. .[jc-H(/i-|-i)Aj:]' donc
(x -f- Ajt) . . .[:c -h (/î -h i) Ax]
(/i -h I ) Ajt . a:(a: -f- A;c) . . . (x -f- 71 A;r)
