Nous avons trouvé

A sin(ajr -H é) = 2 sin cos ( ao: H h ojy

aLx / a^ ,\ A cos(âx + ^) = — 2 sm sm \ax '\ h p 1 •

Aj?'

Intégrant les deux membres , et remplaçant xH par jc.

379 COQIlS ]|*A9ALT$X.

on obtient

y sin (ax -4- ^) =r • cos lax-^ b j •+- G ,

^ cosiax -f- ^) =: sin ( tfij? + b ) -f- G,

a sm

226. Déi^loppements de l'intégrale Z e» séries. — Nous avons trouvé précédemment la formule

nin — i) ,

tu z=: u -h nlu H 4 « -f-

Si Ton, suppose que la valeur u corresponde à j: = o et que Un corresponde k x = tiAx^ et soit désigné par Mj^, on aura

Ix \^ I

Aj7 1.2

A'tt

Soit

on aura

~(^ — i\ Vf. z= G 4- — *». H V-- Ai'a -h ...,

formule qui donne Tintégrale de (^ au moyen des valeurs de p et de ses différences, relatives à a: = o, et de la constante arbitraire C, qui est la valeur que doit avoir Zi^ pouriC==o.

Si les différences deviennent nulles, à partir d'un certain ordre, la série est composée d\in nombre fini de termes.

SECONDB PARTIE. 279

Si Ton demandait Tintégrale seconde d'une fonction, on connaîtrait la différence seconde de Tintégralc. Ainsi , dans le développement de u,) ou connaîtrait A'ii, A'u, etc. , et Ton pourrait prendre arbitrairement u et Au.

Posant

on aurait

C et G' étant deux constantes arbitraires. On déterminerait ainsi une somme d'un ordre quelconque , au moyen de la fonction donnée p» et de ses différences , dans lesquelles on ferait a: = o. U est facile de voir que l'on pourrait partir de toute autre valeur particulière de x.