On peut encore exprimer l'intégrale 2m au moyen
de l'intégrale fudz^ et des fonctions Uy~j —j etc.
En effîôt , le théorème de Taylor donne
du d^u Ax* d^u Ax'
Aa = -—- àx -\- -7-7 — -f-
dx dJc^ 1.2 dx^ 1.2.3
d'où
du Ar^ icïd^u £ix^ ^r\d*u
2 au nx' ^^a-u ax" ^
5ï "^ IT2 2àdi^ "^ 7X3 2d
Si l'on prend toutes les sommes nulles pour x = oto , et qu'on désigne par Uq la valeur de u correspondante à Xq , on aura
d'où l'on tire
^du J__ H — Uo Ajt? ^^'rt Ax' ^d-^u
2âdx ^ Ax ri Zâdx^ """ 1.2.3 ^dj^ ""
2t&& couas d'analyse.
Si Ton remplace successivement m par i udt et par
-> etc. , on obtient
dx
dx
^ I r' àx -^dii ^x^ y^tl^u
2J^ '— SxX "' **^ ^ rrâ ^^- "^ I 2.3 ^Êkdx^ — • • • >
2iàdx^ ~ ^dx'~ T7i iddo^ "~ 1.2.3 Z^dx'^ "~ • • • >
^d^u I d'^u Aj? y^d*u Ax* y^d^u
-2^ "~ Ai r/x» ~ 772 -Zrf^ "" 1.2.3 ^dx^ ~- • • • >
les termes en dehors des signes 2 devant être pris entre les mêmes limites Xo, x.
Reportant dans la valeur de Su celles de 51 T~'
2 fia -7-^î etc. , on obtient une équation de la forme
y u =z — f udx h AAo: -r — h BAj?' -r- -f- . . . .
On déterminera les coefficients A, B,-etc., en posant M = e"^ et wfo = — 00 , ce qui donne l'identité
= T h AAx + BAx* 4- . . .
Le développement du premier membre fera connaître immédiatement les coefficients A, B, C... Or il est facile de démontrer que tous ceux qui multiplient les puissances paires de A,r sont nuls. Pour cela, nous ferons passer le terme — { dans le premier membre •, il suffira alors de faire voir que Texpression résultante jouit de la propriété de changer de signe sans changer de valeur lorsque l'on y change Ax en — Aa* ; ou , en d'autres termes , que l'on
a identiquement
ce qui se vérifie immédiatement.
On a donc
On trouvera ensuite
et , par suite ^
Lee coefficients numéri(|ues qui multiplient — > — =-7) 9 etc. , s« nomment les nombres fie Bernoulb\
Leurs valeurs sont
II I 'n^
La formule de Bt^.i est assez compliquée.
Eu faisant usage de ces nombres, la formulé (i) devient
28a COURS 11* ANALYSE.
Sommation des séries.
228. Si Ton considère la suite des valeurs que prend une fonction u de x, lorsque x croît par degrés ^aux , depuis une certaine valeur jusqu'à une autre ^ on aura une série dont la différence sera la fonction u , dans laquelle on donnera à x sa dernière valeur augmentée de Ax.
En effet , posons
X = /lAx, et SUn = tt -h «I -4- Bj + • . •-+* Wn>
le premier terme u correspondant à a: = o.
Si Ton augmente x de Ax^ n augmente de i, et la série augmente de i/„4., 5 elle est donc renfermée dans l'expression générale de 2m„^i , et l'on a
Sa« = 2a«^, -h c, ou S«^ =r tiin -+-«»-♦-<?,
la constante arbitraire devant être déterminée par la condition que les deux membres soient égaux pour une certaine valeur de n .
Si l'on âuppose les accroissements de la variable égaux à l'unité, ce qu'on peut toujours faire par un changement de variable, on aura
Appliquons cette formule à la recherche de la somme de quelques suites.
229. Supposons d'abord m, = a:~, c'est-à-dire cherchons la somme des J>uissances m des nombres entiers, depuis o jusqu'à or; on trouvera, en faisant usage de la formule que nous avons donnée pour 21r*, et observant que la constante doit y être supposée nulle ,
« o * , ï xix-^x)
Sx = I -h 2 -h 3 -h. ..-h a: = -a7'H — 0?=-— ^ 9
SBCOKDE PARTIE. 283
Sjc^= 1-4-8 -hun -i-„.'\-x^=:-ja*'^-x^-i",x^z='^^ — ^,
Sj:<-f-i-f-i6-f-8i -+-...4-^=^4— ar<-4--JF»—^-x,
&r*=i -h 32-1-243 -H... •+-^*=7r«'H — J?*H -sp* *'•
